Intersezione di una parabola e una retta
L'intersezione di una retta con una parabola avviene al massimo in due punti.
- Retta secante
La retta è detta secante se interseca la parabola in due punti distinti.
- Retta tangente
La retta è detta tangente se interseca la parabola in un punto e non è parallela all'asse della parabola.
- Retta esterna
La retta è detta esterna se non interseca la parabola.
- Retta parallela all'asse della parabola
Se la retta è parallela all'asse della parabola, anche in questo caso c'è un solo punto di intersezione ma la retta non è tangente alla parabola.
Come trovare i punti di intersezione tra la retta e la parabola
Per individuare i punti di intersezione tra una parabola e una retta non parallela all'asse della parabola, costruisco un sistema di equazioni di 2° grado.
{y=ax2+bx+cy=mx+q
La prima equazione di 2° grado è l'equazione della parabola.
La seconda equazione di 1° grado è l'equazione della retta.
Sapendo che y=a2+bx+c e y=mx+q posso eguagliare le due espressioni.
ax2+bx+c=mx+q
In questo modo ottengo un'equazione di 2° grado
ax2+bx−mx+c−q
ax2+x⋅(b−m)+(c−q)
Chiamo a'=a, b'=b-m + c'=c-q
a′x2+x⋅b′+c′
A questo punto calcolo il discriminante dell'equazione di 2° grado.
Δ=b′2−4a′c′
In base al discriminante ci sono tre ipotesi
- Δ>0
Se il discriminante è positivo, la retta è secante alla parabola. Per trovare i punti di intersezione calcolo le due radici distinte dell'equazione di 2° grado. - Δ=0
Se il discriminante è positivo, la retta è tangente alla parabola. Per trovare il punti di tangenza calcolo le due radici coincidenti dell'equazione di 2° grado. - Δ<0
Se il discriminante è negativo, la retta è esterna alla parabola. Non ci sono punti di intersezione.
Un esempio pratico
Devo verificare se la retta
y=−2x+6
è secante, tangente o esterna alla parabola
y=−2x2+2x+4
Eguaglio le due espressioni
−2x+6=−2x2+2x+4
2x2−2x−2x+6−4=0
2x2−4x+2=0
Calcolo il discriminante dell'equazione di 2° grado
Δ=b2−4ac=(−4)2−4(2)(2)=16−16=0
Il discriminante è Δ=0. Quindi, la retta è tangente alla parabola.
Per trovare il punto di tangenza trovo le radici dell'equazione di 2° grado
x=−b±√Δ2a
x=−(−4)±√02(2)
x=44=1
Una volta trovato il punto x=1 calcolo il punto y usando l'equazione della retta o della parabola. L'una o l'altra è indifferente.
Utilizzo l'equazione della retta perché in genere mi permette di svolgere calcoli più semplici.
y=−2x+6
Sapendo che x=1
y=−2(1)+6
y=4
Pertanto il punto di tangenza si trova alle coordinate x=1 e y=4 ossia nel punto (x;y)=(1;4).
E così via.