Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Intersezione di una parabola e una retta

L'intersezione di una retta con una parabola avviene al massimo in due punti.

  • Retta secante
    La retta è detta secante se interseca la parabola in due punti distinti.
    un esempio di retta secante
  • Retta tangente
    La retta è detta tangente se interseca la parabola in un punto e non è parallela all'asse della parabola.
    la retta tangente
  • Retta esterna
    La retta è detta esterna se non interseca la parabola.
    la retta esterna
  • Retta parallela all'asse della parabola
    Se la retta è parallela all'asse della parabola, anche in questo caso c'è un solo punto di intersezione ma la retta non è tangente alla parabola.
    retta parallela all'asse

Come trovare i punti di intersezione tra la retta e la parabola

Per individuare i punti di intersezione tra una parabola e una retta non parallela all'asse della parabola, costruisco un sistema di equazioni di 2° grado.

{y=ax2+bx+cy=mx+q

La prima equazione di 2° grado è l'equazione della parabola.

La seconda equazione di 1° grado è l'equazione della retta.

Sapendo che y=a2+bx+c e y=mx+q posso eguagliare le due espressioni.

ax2+bx+c=mx+q

In questo modo ottengo un'equazione di 2° grado

ax2+bxmx+cq

ax2+x(bm)+(cq)

Chiamo a'=a, b'=b-m + c'=c-q

ax2+xb+c

A questo punto calcolo il discriminante dell'equazione di 2° grado.

Δ=b24ac

In base al discriminante ci sono tre ipotesi

  • Δ>0
    Se il discriminante è positivo, la retta è secante alla parabola. Per trovare i punti di intersezione calcolo le due radici distinte dell'equazione di 2° grado.
  • Δ=0
    Se il discriminante è positivo, la retta è tangente alla parabola. Per trovare il punti di tangenza calcolo le due radici coincidenti dell'equazione di 2° grado.
  • Δ<0
    Se il discriminante è negativo, la retta è esterna alla parabola. Non ci sono punti di intersezione.

un esempio pratico

Un esempio pratico

Devo verificare se la retta

y=2x+6

è secante, tangente o esterna alla parabola

y=2x2+2x+4

Eguaglio le due espressioni

2x+6=2x2+2x+4

2x22x2x+64=0

2x24x+2=0

Calcolo il discriminante dell'equazione di 2° grado

Δ=b24ac=(4)24(2)(2)=1616=0

Il discriminante è Δ=0. Quindi, la retta è tangente alla parabola.

Per trovare il punto di tangenza trovo le radici dell'equazione di 2° grado

x=b±Δ2a

x=(4)±02(2)

x=44=1

Una volta trovato il punto x=1 calcolo il punto y usando l'equazione della retta o della parabola. L'una o l'altra è indifferente.

Utilizzo l'equazione della retta perché in genere mi permette di svolgere calcoli più semplici.

y=2x+6

Sapendo che x=1

y=2(1)+6

y=4

Pertanto il punto di tangenza si trova alle coordinate x=1 e y=4 ossia nel punto (x;y)=(1;4).

la retta è tangente alla parabola

E così via.

 

 


 

Segnalami un errore, un refuso o un suggerimento per migliorare gli appunti

FacebookTwitterLinkedinLinkedin
knowledge base

Parabola

Come ottenere l'equazione della parabola dati: