Iperbole equilatera
L'iperbole equilatera è una particolare iperbole in cui l'asse trasverso e non trasverso sono di uguale lunghezza. La sua equazione standard è la seguente $$ x^2−y^2=a^2 $$
Si tratta di una curva aperta definita come il luogo geometrico in cui tutti i punti soddisfano l'equazione x2-y2=a2.
Per il resto, come nelle altre iperboli, ogni punto P della curva ha la stessa differenza di distanza dai due fuochi F1 e F2.
Nota. Come in qualsiasi iperbole, anche in un'iperbole equilatera la differenza delle distanze tra un punto P e i fuochi è sempre uguale a 2a. $$ | \overline{PF_1} - \overline{PF_2} | = 2a $$ Dove "a" è la distanza tra un vertice e il centro dell'iperbole. Ad esempio, se a=2 e b=2 allora la differenza delle distanze è uguale a 2a=4.
Le caratteristiche
L'iperbole equilatera si distingue dalle altre iperboli per gli assi simmetrici e uguali in lunghezza (congruenti).
Pertanto, la distanza dei vertici reali (a) e non reali (b) dal centro (O) è la stessa.
$$ a=b $$
Dove I vertici reali (a) sono i punti di intersezione dell'iperbole con l'asse trasverso. Mentre, i vertici non reali (b) sono i punti di intersezione dell'iperbole con l'asse non trasverso (o normale).
Inoltre, nel caso dell'iperbole equilatera gli asintoti obliqui coincidono con le bisettrici dei quadranti del piano cartesiano.
$$ y = x $$
$$ y = -x $$
Per il resto, i punti di fuoco si trovano sull'asse trasverso alla distanza dal centro pari a c=sqrt(a^2+b^2) dove "a" e "b" sono le distanze dei vertici reali e non reali dal centro O dell'iperbole.
$$ c= \sqrt{a^2+b^2} $$
Nel caso in cui l'asse trasverso è l'asse x le coordinate dei fuochi sono le seguenti:
$$ F_1(-c;0) \\ F_2(c;0) $$
Se invece l'asse trasverso è l'asse y, le coordinate dei fuochi hanno queste componenti:
$$ F_1(0;-c) \\ F_2(0;c) $$
Infine, l'equazione canonica dell'iperbole equilatera è la seguente:
$$ x^2−y^2=a^2 $$
Tutti i punti dell'iperbole equilatera devono soddisfare la precedente relazione.
Un esempio pratico
Considero una iperbole equilatera con centro sull'origine degli assi cartesiani O(0;0)
$$ x^2-y^2= 4 $$
In questo caso a2=4
$$ a^2 = 4 $$
Calcolo la radice quadrata in entrambi i membri e ottengo a=2.
$$ \sqrt{a^2} = \sqrt{4} $$
$$ a=2 $$
Ho così trovato la distanza dei vertici reali dell'iperbole dal centro sull'asse trasverso A1A2.
$$ A_1(-a;0) = (-2;0) $$
$$ A_2(a;0) = (2;0) $$
Rappresento i due vertici reali sul piano
Sapendo che l'iperbole è equilatera, le variabili a=b hanno lo stesso valore, quindi anche b=2.
Pertanto, le coordinate dei vertici sull'asse non trasverso sono i seguenti:
$$ B_1(-b;0) = (-2;0) $$
$$ B_2(b;0) = (2;0) $$
Rappresento anche i vertici non reali sul piano
A questo punto per trovare le diagonali mi basta costruire un quadrato centrato sull'origine con lati lunghi 2a.
Le diagonali del quadrato si trovano sugli asintoti dell'iperbole equilatera.
Una volta noti "a" e "b", posso calcolare "c" ossia la distanza dei fuochi dal centro usando il teorema di Pitagora.
$$ c = \sqrt{a^2+b^2} $$
$$ c = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} = 2.83 $$
Quindi, le coordinate dei fuochi si trovano alle seguenti coordinate
$$ F_1(-c;0) = (-2.83;0) $$
$$ F_2(c;0) = (2.83;0) $$
Rappresento le coordinate dei fuochi sul piano
A questo punto posso calcolare i vari punti dell'iperbole usando l'equazione canonica
$$ x^2−y^2=a^2 $$
In questo caso a=2
$$ x^2−y^2=2^2 $$
$$ x^2−y^2=4 $$
Ricavo la y in funzione della x
$$ y^2 = x^2-4 $$
$$ \sqrt{y^2} = \sqrt{x^2-4} $$
$$ y = \pm \sqrt{x^2-4} $$
A questo punto calcolo le coordinate (x;y) dei punti dell'iperbole per alcuni valori della x nell'intervallo (-∞,-2.81]∪[2.81,∞).
| x | y |
|---|---|
| -5 | ±4.58 |
| -4 | ±3.46 |
| -3 | ±2.24 |
| 3 | ±2.24 |
| 4 | ±3.46 |
| 5 | ±4.58 |
In questo modo posso aggiungere i primi punti dell'iperbole nel grafico.
Per ultimare la costruzione della curva non devo far altro che trovare altri punti e unirli tra loro.
Il risultato finale è l'iperbole equilatera.
Nota. Come in qualsiasi altra iperbole, se prendo un punto P qualsiasi della curva, la differenza assoluta tra le distanze dai fuochi è costante ed è pari a 2a=4.
L'iperbole equilatera con l'asse trasverso sulla bisettrice
L'iperbole equilatera con l'asse trasverso sulla bisettrice del piano cartesiano rappresenta una rotazione dell'iperbole equilatera standard di 45 gradi.
Si tratta di un caso particolare di iperbole equilatera in cui l'asse trasverso coincide con la bisettrice dei quadranti del piano anziché con gli assi.
In altre parole, le bisettrici diventano gli assi dell'iperbole mentre gli assi del piano cartesiano diventano gli asintoti dell'iperbole equilatera.
In questo sistema l'equazione dell'iperbole equilatera è la seguente:
$$ x \cdot y = k $$
Dove k è una costante positiva o negativa.
- Se k>0 i rami dell'iperbole sono nel primo e terzo quadrante.
- Se k<0 i rami dell'iperbole sono nel secondo e quarto quadrante.
Un esempio pratico
Considero l'iperbole seguente
$$ xy = - \frac{1}{2} $$
In questo caso la costante è k=-1/2 ed è un valore negativo.
Quindi l'iperbole si trova nel secondo e nel quarto quadrante del piano cartesiano.
Gli assi x e y del piano sono gli asintoti dell'iperbole.
Viceversa le bisettrici del piano sono rispettiivamente l'asse trasverso e non trasverso dell'iperbole.
Dimostrazione. Considero un'iperbole equilatera con l'asse trasverso sull'asse x, la cui equazione canonica è $$ x^2-y^2=1 $$ Ruoto di 45° l'iperbole calcolando le nuove coordinate x' e y' tramite la matrice di riotazione. $$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$ Le nuove coordinate sono le seguenti $$ x'= x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - y \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ y' = x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + y \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $$ Ora sostituisco queste nuove coordinate nell'equazione canonica dell'iperbole equilatera $$ x'^2-y'^2=1 $$ $$ (x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - y \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})^2-(x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + y \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})^2=1 $$ $$ ( x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} )^2 - 2 xy \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + ( y \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} )^2 - [ ( x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} )^2 + 2 xy \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} + ( y \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} )^2 ] = 1 $$ $$ \frac{1}{2}x^2 - xy + \frac{1}{2}y^2 - [ \frac{1}{2}x^2+xy + \frac{1}{2} y^2 ] = 1 $$ $$ -xy - xy = 1 $$ $$ -2xy = 1 $$ $$ 2xy = -1 $$ $$ xy = - \frac{1}{2} $$ In questo caso la costante è k=-1/2. Essendo k un valore negativo, l'iperbole equilatera si trova nel secondo e nel quarto quadrante.
La dimostrazione
Considero una iperbole centrata sull'origine O(0;0) con gli assi trasversi sull'asse x e non trasversi sull'asse y che sono tra loro congruenti, ossia di uguale lunghezza.
$$ a=b $$
Essendo uguali, il rettangolo ABCD che ha lati di lunghezza 2a e 2b costruito al centro dell'iperbole diventa un quadrato.
In questo caso le diagonali del quadrato coincidono con le bisettrici dei quadranti del piano cartesiano.
$$ y = x $$
$$ y = -x $$
L'equazione canonica di un'iperbole centrata sull'origine e con i fuochi sull'asse x è la seguente:
$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
Sapendo che a=b, posso sostituire b2 con a2
$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{a^2} = 1 $$
$$ \frac{x^2-y^2}{a^2} = 1 $$
Per la proprietà invariantiva delle equazioni, moltiplico entrambi i membri dell'equazione per a2
$$ \frac{x^2-y^2}{a^2} \cdot a^2 = 1 \cdot a^2 $$
$$ x^2-y^2 = a^2 $$
Il risultato finale è l'equazione canonica dell'iperbole equilatera.
E così via.
