Equazione dell'iperbole noto un asintoto e un fuoco

Per determinare l'equazione di un'iperbole centrata nell'origine, la conoscenza di un fuoco mi permette subito di capire se l'asse trasverso è l'asse x o l'asse y.

• Se il fuoco è $ F(c;0) $ allora l'asse trasverso è l'asse x e l'equazione dell'iperbole è $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
• Se il fuoco è $ F(0;c) $ allora l'asse trasverso è l'asse y e l'equazione dell'iperbole è $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 $$

In entrambi i casi le equazioni degli asintoti dell'iperbole sono:

$$ y = \pm \frac{b}{a} $$

La relazione tra i semiassi $ a $ e $ b $ e la distanza $ c $ del fuoco dal centro dell'iperbole è sempre la seguente:

$$ c^2 = a^2 + b^2 $$

Dati questi elementi, posso risalire all'equazione dell'iperbole.

Un esempio pratico

Considero un'iperbole che ha un fuoco alle coordinate

$$ F(c;0) = F(5;0) $$

e un asintoto

$$ y = \sqrt{\frac{2}{3}} x $$

Il fuoco si trova sull'asse x, quindi l'equazione dell'iperbole si scrive in questo modo:

$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

Per trovare i semiassi $ a $ e $ b $, costruisco un sistema con l'equazione dell'asintoto e la relazione tra i semiassi dell'iperbole.

$$ \begin{cases} y = \pm \frac{b}{a} x \\ \\ c^2 = a^2 + b^2 \end{cases} $$

Conosco già l'equazione di un asintoto $ y = \sqrt{\frac{2}{3}} x $ e la distanza del fuoco dal centro ossia $ c=5 $

$$ \begin{cases} \sqrt{\frac{2}{3}} x = \frac{b}{a} x \\ \\ 5^2 = a^2 + b^2 \end{cases} $$

Divido entrambi i lati della prima equazione per $ x $

$$ \begin{cases} \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{b}{a} \\ \\ 25 = a^2 + b^2 \end{cases} $$

Ricavo $ b $ nella prima equazione

$$ \begin{cases} b = \sqrt{\frac{2}{3}} a \\ \\ 25 = a^2 + b^2 \end{cases} $$

Sostituisco $ b $ nella seconda equazione

$$ \begin{cases} b = \sqrt{\frac{2}{3}} a \\ \\ 25 = a^2 + (\sqrt{\frac{2}{3}} a)^2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} b = \sqrt{\frac{2}{3}} a \\ \\ 25 = a^2 + \frac{2}{3} a^2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} b = \sqrt{\frac{2}{3}} a \\ \\ 25 = \frac{3a^2+2a^2}{3} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} b = \sqrt{\frac{2}{3}} a \\ \\ 25 = \frac{5a^2}{3} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} b = \sqrt{\frac{2}{3}} a \\ \\ a^2 = 25 \cdot \frac{3}{5} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} b = \sqrt{\frac{2}{3}} a \\ \\ a^2 = 15 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} b = \sqrt{\frac{2}{3}} a \\ \\ \sqrt{a^2} = \sqrt{15} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} b = \sqrt{\frac{2}{3}} a \\ \\ a = \sqrt{15} \end{cases} $$

Una volta noto $ a = \sqrt{15} $ lo sostituisco nella prima equazione per trovare $ b $

$$ \begin{cases} b = \sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{15} \\ \\ a = \sqrt{15} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} b = \sqrt{\frac{2}{3} \cdot 15}  \\ \\ a = \sqrt{15} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} b = \sqrt{10}  \\ \\ a = \sqrt{15} \end{cases} $$

Quindi, la lunghezza dei semiassi dell'iperbole è $ a = \sqrt{15} $ e $ b = \sqrt{10} $ che posso sostituire nell'equazione canonica dell'iperbole.

$$ \frac{x^2}{( \sqrt{15} )^2} - \frac{y^2}{( \sqrt{10} )^2} = 1 $$

$$ \frac{x^2}{15} - \frac{y^2}{10} = 1 $$

Questa è l'equazione dell'iperbole che ha un fuoco alle coordinate $ F(c;0) = F(5;0) $ e un asintoto $ y = \sqrt{\frac{2}{3}} x $.

E così via.