Equazione dell'iperbole nota l'eccentricità e un fuoco

Per determinare l'equazione di un'iperbole centrata nell'origine nota l'eccentricità e un fuoco, seguo questi passaggi:

• Se il fuoco si trova sull'asse x l'equazione dell'iperbole è $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$ mentre l'eccentricità è $ e = \frac{c}{a} $
• Se il fuoco si trova sull'asse y l'equazione dell'iperbole è $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 $$ mentre l'eccentricità è $  e = \frac{c}{b} $

La relazione tra i semiassi reali e non reali con la distanza dei fuochi dal centro è data dalla formula $$ c^2 = a^2 + b^2 $$

Mettendo queste informazioni in un sistema, riesco a calcolare la lunghezza dei semiassi $ a $ e $ b $, necessarie per scrivere l'equazione dell'iperbole.

Un esempio pratico

Considero l'equazione di un'iperbole centrata nell'origine che ha un fuoco alle coordinate $ F(3;0) $ e un'eccentricità $ e = \frac{3}{2} $

I fuochi sono sull'asse x, quindi l'equazione dell'iperbole si presenta in questa forma

$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

L'eccentricità di un'iperbole con i fuochi sull'asse x si misura con questa formula

$$ e = \frac{c}{a} $$

Costruisco un sistema di equazioni con queste due informazioni

$$ \begin{cases} e = \frac{c}{a} \\ \\ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{cases} $$

Sapendo che un fuoco l'eccentricità è $ e = \frac{3}{2} $ e il fuoco si trova alle coordinate $ F(c;0) = (3;0) $ con $ c=3 $

$$ \begin{cases} \frac{3}{2} = \frac{3}{a} \\ \\ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} a = 3 \cdot \frac{2}{3} \\ \\ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} a = 2 \\ \\ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{cases} $$

Quindi,  il vertice dell'ellisse sull'asse x si trova alle coordinate $ A(a;0)=(2;0) $

Una volta noto $ a=2 $ trovo il semiasse $ b $ usando la relazione $ c^2 = a^2 +b^2 $

$$ c^2 = a^2 +b^2 $$

Dove $ c=3 $ e $ a =2 $

$$ 3^2 = 2^2 +b^2 $$

$$ 9 = 4 +b^2 $$

$$ b^2 = 9 - 4 $$

$$ b^2 = 5 $$

$$ \sqrt{b}=\sqrt{5} $$

$$ b=\sqrt{5} $$

A questo punto posso sostituire $ a=2 $ e $ b=\sqrt{5} $ nell'equazione canonica dell'iperbole.

$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

$$ \frac{x^2}{2^2} - \frac{y^2}{( \sqrt{5})^2} = 1 $$

$$ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1 $$

Questa è l'equazione dell'iperbole centrata nell'origine che ha un fuoco alle coordinate $ F(3;0) $ e un'eccentricità $ e = \frac{3}{2} $

E così via.