Equazione dell'iperbole dato un punto e l'eccentricità

Per trovare l'equazione dell'iperbole centrata dell'origine date le coordinate di un punto $ P(x_0;y_0) $ e dell'eccentricità $ e $ seguo questi passaggi

Devo capire dagli altri dati del problema qual è l'asse reale, quello in cui si trovano i fuochi.

• Se l'asse reale è l'asse delle x l'equazione dell'iperbole è: $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$ mentre l'eccentricità si ottiene dalla formula $$ e = \frac{c}{a} $$
• Se l'asse reale è l'asse delle y l'equazione dell'iperbole è: $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 $$ mentre l'eccentricità si ottiene dalla formula $$ e = \frac{c}{b} $$

Sostituisco le coordinate del punto $ P(x_0;y_0) $ nell'equazione dell'iperbole, poi costruisco un sistema con quest'ultima e l'eccentricità per ottenere la misura dell'asse reale e dell'asse non reale.

Un esempio pratico

Considero un'iperbole centrata nell'origine degli assi cartesiani che passa per il punto $ P(-6; 2 \sqrt{15} )$ e ha l'eccentricità $ e= \frac{\sqrt{7}}{2} $, l'asse trasverso (reale) dove si trovano i fuochi è l'asse y

Poiché l'asse reale è l'asse y, in questo caso l'equazione dell'iperbole è

$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 $$

mentre l'eccentricità è la seguente

$$ e = \frac{c}{b} $$

Metto a sistema le due equazioni

$$ \begin{cases} \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 \\ \\ e = \frac{c}{b} \end{cases} $$

Sostituisco le coordinate del punto $ P(-6; 2 \sqrt{15} )$ nell'equazione dell'iperbole

$$ \begin{cases} \frac{(-6)^2}{a^2} - \frac{(2 \sqrt{15})^2}{b^2} = -1 \\ \\ e = \frac{c}{b} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \frac{36}{a^2} - \frac{4 \cdot 15}{b^2} = -1 \\ \\ e = \frac{c}{b} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \frac{36}{a^2} - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ e = \frac{c}{b} \end{cases} $$

Sostituisco il dato sull'eccentricità $ e= \frac{\sqrt{7}}{2} $ nell'equazione dell'iperbole

$$ \begin{cases} \frac{36}{a^2} - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{c}{b} \end{cases} $$

Sapendo che nell'iperbole vale la relazione $ c^2= a^2+b^2 $ allora $ c = \sqrt{a^2+b^2} $

$$ \begin{cases} \frac{36}{a^2} - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{ \sqrt{a^2+b^2}  }{b} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \frac{36}{a^2} - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ \frac{\sqrt{7}}{2} = \sqrt{ \frac{ a^2+b^2}{b^2}  } \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \frac{36}{a^2} - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ \frac{\sqrt{7}}{2} = \sqrt{ 1+ \frac{ a^2}{b^2}  } \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \frac{36}{a^2} - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ ( \frac{\sqrt{7}}{2} )^2 = ( \sqrt{ 1+ \frac{ a^2}{b^2}  } )^2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \frac{36}{a^2} - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ \frac{7}{4} =  1+ \frac{ a^2}{b^2}  \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \frac{36}{a^2} - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ \frac{ a^2}{b^2} = \frac{7}{4} - 1  \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \frac{36}{a^2} - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ a^2 =   \frac{7-4}{4}  \cdot b^2  \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \frac{36}{a^2} - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ a^2 =   \frac{3}{4}  \cdot b^2  \end{cases} $$

Sostituisco $ a^2 $ nella prima equazione

$$ \begin{cases} \frac{36}{\frac{3}{4}  \cdot b^2} - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ a^2 =   \frac{3}{4}  \cdot b^2  \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 36 \cdot \frac{4}{3b^2}  - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ a^2 =   \frac{3}{4}  \cdot b^2  \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \frac{144}{3b^2}  - \frac{60}{b^2} = -1 \\ \\ a^2 =   \frac{3}{4}  \cdot b^2  \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \frac{144-180}{3b^2}   = -1 \\ \\ a^2 =   \frac{3}{4}  \cdot b^2  \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \frac{-36}{3b^2}   = -1 \\ \\ a^2 =   \frac{3}{4}  \cdot b^2  \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \frac{-12}{b^2}   = -1 \\ \\ a^2 =   \frac{3}{4}  \cdot b^2  \end{cases} $$

$$ \begin{cases} -b^2 =-12 \\ \\ a^2 =   \frac{3}{4}  \cdot b^2  \end{cases} $$

$$ \begin{cases} b^2 = 12 \\ \\ a^2 =   \frac{3}{4}  \cdot b^2  \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sqrt{b^2} = \sqrt{12} \\ \\ a^2 =   \frac{3}{4}  \cdot b^2  \end{cases} $$

$$ \begin{cases} b = \sqrt{3 \cdot 4} \\ \\ a^2 =   \frac{3}{4}  \cdot b^2  \end{cases} $$

$$ \begin{cases} b = 2 \sqrt{3} \\ \\ a^2 =   \frac{3}{4}  \cdot b^2  \end{cases} $$

Una volta trovata la lunghezza dell'asse reale $ b = 2 \sqrt{3} $ la sostituisco nella seconda equazione per trovare anche la misura dell'asse non reale $ a $

$$ \begin{cases} b = 2 \sqrt{3} \\ \\ a^2 =   \frac{3}{4}  \cdot ( 2 \sqrt{3})^2  \end{cases} $$

$$ \begin{cases} b = 2 \sqrt{3} \\ \\ a^2 =   \frac{3}{4}  \cdot 4 \cdot 3  \end{cases} $$

$$ \begin{cases} b = 2 \sqrt{3} \\ \\ a^2 =   9  \end{cases} $$

$$ \begin{cases} b = 2 \sqrt{3} \\ \\ \sqrt{a^2} = \sqrt{9}  \end{cases} $$

$$ \begin{cases} b = 2 \sqrt{3} \\ \\ a = 3  \end{cases} $$

A questo punto conosco entrambe le lunghezze dal centro al vertice reale $ b = 2 \sqrt{3} $ e $ a=3 $, quindi posso sostituirle nell'equazione canonica dell'iperbole.

$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 $$

$$ \frac{x^2}{3^2} - \frac{y^2}{(2 \sqrt{3})^2} = -1 $$

$$ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{(4 \cdot 3} = -1 $$

$$ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{12} = -1 $$

Questa è l'equazione dell'iperbole centrata nell'origine degli assi che passa per il punto $ P(-6; 2 \sqrt{15} )$ e ha l'eccentricità $ e= \frac{\sqrt{7}}{2} $, l'asse trasverso (reale) è l'asse y

E così via.