Equazione di un'iperbole noto un asintoto e un vertice
Per determinare l'equazione di un'iperbole centrata nell'origine degli assi cartesiani dato un asintoto e un vertice $ A(a;0) $ oppure $ B(0;b) $, seguo questi passaggi:
- Deduco dai dati del problema se l'equazione ha l'asse trasverso orizzontale o verticale per scrivere l'equazione dell'iperbole. Se non è possibile devo considerare entrambe le ipotesi. $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \pm 1 $$
- Scrivo l'equazione dell'asintoto $$ y = \pm \frac{b}{a} $$ e sostituisco la lunghezza del semiasse noto ($ a $ o $ b $)
- Risolvo il sistema di equazioni per trovare il semiasse mancante.
Una volta trovate le lunghezze $ a $ e $ b $ dei semiassi, posso completare l'equazione dell'iperbole.
Un esempio pratico
Considero una iperbole che ha un vertice reale in $ A(6;0) $ e un asintoto di equazione $ y = - \frac{2}{3} x $
Il problema specifica che il vertice $ A (6;0) $ è "reale", quindi si trova sull'asse trasverso, quello in cui si trovano anche i fuochi.
Quindi, l'asse trasverso è l'asse x e l'equazione dell'iperbole da utilizzare è la seguente:
$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
Scrivo un sistema di equazioni con l'equazione dell'asintoto e dell'iperbole.
$$ \begin{cases} y = \frac{b}{a} x \\ \\ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{cases} $$
Il vertice $ A(6;0) $ si trova sull'asse x alla distanza $ a=6 $ dal centro dell'iperbole.
$$ \begin{cases} y = \frac{b}{6} x \\ \\ \frac{x^2}{6^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} y = \frac{b}{6} x \\ \\ \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{cases} $$
L'asintoto noto dell'iperbole è $ y = - \frac{2}{3} x $
$$ \begin{cases} - \frac{2}{3} x = \frac{b}{6} x \\ \\ \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{cases} $$
Divido entrambi i lati della prima equazione per x e semplifico.
$$ \begin{cases} - \frac{2}{3} = \frac{b}{6} \\ \\ \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{cases} $$
A questo punto ricavo $ b $ dalla prima equazione
$$ \begin{cases} b = - \frac{2}{3} \cdot 6 \\ \\ \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} b = - 4 \\ \\ \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{cases} $$
Poi sostituisco $ b = - 4 $ nella seconda equazione.
$$ \begin{cases} b = - \frac{2}{3} \frac{b}{6} x \\ \\ \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{(- 4)^2} = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} b = - \frac{2}{3} \frac{b}{6} x \\ \\ \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{16} = 1 \end{cases} $$
Pertanto, l'equazione dell'iperbole è
$$ \frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{16} = 1 $$
Questa è l'equazione dell'iperbole che ha un vertice reale in $ A(6;0) $ e un asintoto di equazione $ y = - \frac{2}{3} x $
E così via.
