Equazione di una iperbole dato un fuoco e una tangente
Per determinare l'equazione di una iperbole dato un fuoco e una tangente, seguo questi passaggi:
- In base ai dati del problema cerco di capire se l'asse trasverso è l'asse x $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$ oppure l'asse y $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 $$ Da questo deriva l'equazione canonica dell'iperbole.
- La conoscenza del fuoco mi permette di usare la relazione $ c^2 = a^2+b^2 $ con $ a $ e $ b $ incognite
- Metto a confronto l'equazione della retta tangente e la formula di sdoppiamento $ \frac{x_0x}{a^2} - \frac{y_0y}{b^2} = 1 $ per ottenere le coordinate $ (x_0;y_0) $ del punto di tangenza in termini di $ a^2 $ e $ b^2 $. Poi le sostituisco nell'equazione della retta tangente e ottengo un'altra equazione con $ a $ e $ b $ incognite.
- Costruisco un sistema con le due equazioni per trovare $ a^2 $ e $ b^2 $
Questi passaggi mi permettono di scrivere l'equazione dell'iperbole.
Esempio pratico
L'equazione di un'iperbole centrata nell'origine con un fuoco alle coordinate $ F( \sqrt{7},0 ) $ e una retta tangente $ x-y = 1 $
Il fuoco si trova sull'asse x, quindi l'equazione dell'iperbole è la seguente:
$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
Dove \(a\) e \(b\) sono i semiassi dell'iperbole. L'iperbole ha i fuochi lungo l'asse \(x\), quindi possiamo usare la relazione tra i parametri \(a\), \(b\) e la distanza focale \(c\), dove \(c^2 = a^2 + b^2\).
Il fuoco si trova alle coordinate $ F( \sqrt{7},0 ) $, quindi alla distanza $ c=\sqrt{7} $ dal centro dell'iperbole.
$$ c = \sqrt{7} $$
Sapendo che in un'iperbole $ c^2 = a^2+b^2 $
$$ c^2 = a^2 + b^2 $$
$$ (\sqrt{7} )^2 = a^2+b^2 $$
$$ a^2+b^2 = 7 \quad \text{(equazione 1)} $$
Ora devo trovare un'altra equazione ce abbia come incognite le variabili $ a $ e $ b $.
L'altro dato del problema è la retta tangente data dall'equazione \(x - y = 1\).
Nel caso di una iperbole l'equazione della retta tangente in un punto \((x_0, y_0)\) dell'iperbole è data da:
$$ \frac{x_0x}{a^2} - \frac{y_0y}{b^2} = 1 $$
Metto a confronto questa equazione con cl'equazione della retta tangente \(x - y = 1\)
$$ \underbrace{ \frac{x_0}{a^2} }_1 x - \underbrace{ \frac{y_0}{b^2} }_1 y= 1 \Leftrightarrow x-y=1 $$
Da questo confronto deduco che i coefficienti della x e della y sono:
$$ \frac{x_0}{a^2} = 1 \quad \text{e} \quad -\frac{y_0}{b^2} = -1 $$
Questo implica che
$$ x_0 = a^2 \quad \text{e} \quad y_0 = b^2 $$
Quindi, il punto di tangenza \((x_0, y_0)\) della retta sull'iperbole è \((a^2, b^2)\).
Il punto \((x_0,y_0)=(a^2, b^2)\) è tangente, quindi appartiene sia all'iperbole che alla retta \(x - y = 1\).
Pertanto , posso sostituire \(x = a^2\) e \(y = b^2\) nell'equazione della tangente \(x - y = 1\):
$$ a^2 - b^2 = 1 \quad \text{(Equazione 2)} $$
In questo modo ottengo un'altra equazione con $ a $ e $ b $ incognite.
Costruisco un sistema di equazioni con le equazioni trovate e risolvo il sistema.
$$ \begin{cases} a^2+b^2 = 7 \\ \\ a^2 - b^2 = 1 \end{cases} $$
Ricavo $ a^2 $ nella prima equazione e la sostituisco nella seconda.
$$ \begin{cases} a^2 = 7 - b^2 \\ \\ a^2 - b^2 = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a^2 = 7 - b^2 \\ \\ 7 - b^2 - b^2 = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a^2 = 7 - b^2 \\ \\ - 2b^2 = 1-7 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a^2 = 7 - b^2 \\ \\ - 2b^2 = -6 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a^2 = 7 - b^2 \\ \\ 2b^2 = 6 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a^2 = 7 - b^2 \\ \\ b^2 = \frac{6}{2} \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a^2 = 7 - b^2 \\ \\ b^2 = 3 \end{cases} $$
Una volta ottenuto $b^2 =3 $ lo sostituisco nella prima equazione per trovare anche $ a^2 $
$$ \begin{cases} a^2 = 7 - 3 \\ \\ b^2 = 3 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a^2 = 4 \\ \\ b^2 = 3 \end{cases} $$
Noti $ a^2=4 $ e $ b^2 = 3 $ posso sostituirli nell'equazione canonica dell'iperbole.
$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
$$ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1 $$
Questa è l'equazione dell'iperbole che ha un fuoco alle coordinate $ F( \sqrt{7},0 ) $ e una retta tangente $ x-y = 1 $
E così via.
