Equazione dell'iperbole dato un punto e una tangente
Per ottenere l'equazione di un'iperbole centrata nell'origine date le coordinate di un punto dell'iperbole $ P(x;y) $ e di una tangente, seguo questi passaggi:
- Cerco di capire dai dati del problema se l'asse trasverso è l'asse x $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$ oppure l'asse y $$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1 $$
- Sostituisco le coordinate del punto $ P(x;y) $ nell'equazione canonica dell'iperbole
- Metto a confronto l'equazione della retta tangente con la formula di sdoppiamento $ \frac{x_0x}{a^2} - \frac{y_0y}{b^2} = 1 $ per ottenere le coordinate $ (x_0;y_0) $ del punto di tangenza in termini di $ a^2 $ e $ b^2 $ e le sostituisco nell'equazione della retta tangente.
- Costruisco un sistema di equazioni per trovare $ a^2 $ e $ b^2 $
Un esempio pratico
Considero un'iperbole con centro nell'origine degli assi cartesiani e l'asse trasverso sull'asse x, che passa per il punto $ P(-4,3) $ e ha una retta tangente $ x-y=1 $.
L'iperbole ha l'asse trasverso sull'asse x, quindi l'equazione canonica dell'iperbole è
$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
So già che l'iperbole passa per il punto \(P(-4, 3)\). Pertanto, posso sostituire \(x = -4\) e \(y = 3\) nell'equazione canonica per ottenere:
$$ \frac{(-4)^2}{a^2} - \frac{3^2}{b^2} = 1 $$
$$ \frac{16}{a^2} - \frac{9}{b^2} = 1 \quad \text{(Equazione 1)} $$
So anche che l'iperbole ha una retta tangente data dall'equazione \(x - y = 1\).
Per un'iperbole, l'equazione della retta tangente in un punto \((x_0, y_0)\) è data da:
$$ \frac{x_0x}{a^2} - \frac{y_0y}{b^2} = 1 $$
Confronto questa con l'equazione della retta tangente data \(x - y = 1\) e identifico che:
$$ \underbrace{ \frac{x_0}{a^2} }_1 x - \underbrace{ \frac{y_0}{b^2} }_1 y= 1 \Leftrightarrow x-y=1 $$
Quindi, per coincidere i coefficienti della x e della y nell'equazione della retta tangente devono essere:
$$ \frac{x_0}{a^2} = 1 \quad \text{e} \quad -\frac{y_0}{b^2} = -1 $$
Questo implica che
$$ x_0 = a^2 \quad \text{e} \quad y_0 = b^2 $$
Pertanto, il punto di tangenza \((x_0, y_0)\) della retta sull'iperbole è \((a^2, b^2)\).
Poiché questa retta è tangente in questo punto, posso sostituire \(x = a^2\) e \(y = b^2\) nell'equazione della tangente \(x - y = 1\):
$$ a^2 - b^2 = 1 \quad \text{(Equazione 2)} $$
Ora ho due equazioni da risolvere contemporaneamente che posso mettere in un sistema composto da due equazioni e due incognite
$$ \begin{cases} \frac{16}{a^2} - \frac{9}{b^2} = 1 \\ \\ a^2 - b^2 = 1 \end{cases} $$
Ricavo $ a^2 $ nella seconda equazione.
$$ \begin{cases} \frac{16}{a^2} - \frac{9}{b^2} = 1 \\ \\ a^2 = b^2 + 1 \end{cases} $$
Sostituisco $ a^2 = b^2 +1 $ nella prima equazione.
$$ \begin{cases} \frac{16}{b^2 + 1} - \frac{9}{b^2} = 1 \\ \\ a^2 = b^2 + 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \frac{16b^2-9(b^2+1)}{b^2(b^2 + 1)} = 1 \\ \\ a^2 = b^2 + 1 \end{cases} $$
Per risolvere la prima equazione, moltiplico entrambi i membri per \(b^2(b^2 + 1)\):
$$ \begin{cases} 16b^2 - 9(b^2 + 1) = b^4 + b^2 \\ \\ a^2 = b^2 + 1 \end{cases} $$
Espandendo e riordinando i termini:
$$ \begin{cases} 16b^2 - 9b^2 - 9 = b^4 + b^2 \\ \\ a^2 = b^2 + 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 7b^2 - 9 = b^4 + b^2 \\ \\ a^2 = b^2 + 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} b^4 - 6b^2 + 9 = 0 \\ \\ a^2 = b^2 + 1 \end{cases} $$
Ponendo \(u = b^2\), l'equazione $ b^4 - 6b^2 + 9 = 0 $ diventa:
$$ u^2 - 6u + 9 = 0 $$
Questa equazione si fattorizza come:
$$ (u - 3)^2 = 0 $$
Quindi, \(u = 3\), e quindi \(b^2 = 3\).
$$ \begin{cases} b^2=3 \\ \\ a^2 = b^2 + 1 \end{cases} $$
Usando \(b^2 = 3\) in \(a^2 = b^2 + 1\) ottengo anche il quadrato dell'altro semiasse dell'iperbole
$$ \begin{cases} b^2=3 \\ \\ a^2 = 3 + 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} b^2=3 \\ \\ a^2 = 4 \end{cases} $$
Quindi, una volta noto che $ a^2=4 $ e $ b^2=3 $ posso scrivere l'equazione canonica dell'iperbole:
$$ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 $$
$$ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1 $$
Questa è l'equazione dell'iperbole che passa per il punto \((-4, 3)\) e ha una retta tangente data da \(x - y = 1\).
E così via.
