Schema delle prove ripetute di Bernoulli
Lo schema di Bernoulli è un modello che calcola la probabilità \( P(k;n) \) di ottenere esattamente \( k \) successi in \( n \) prove indipendenti, ciascuna con due soli esiti (successo o insuccesso): $$ P(k;n) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k} $$ Dove \( p \) è la probabilità di successo e \( q = 1-p \) è la probabilità di insuccesso in ogni singola prova.
Per applicare correttamente lo schema di Bernoulli devono essere verificate tre condizioni:
- Le prove sono indipendenti tra loro
- Ogni prova ammette solo due esiti (successo o insuccesso)
- La probabilità di successo \( p \) è costante in tutte le prove
Quando queste ipotesi sono rispettate, il modello restituisce la probabilità che si verifichino \( k \) successi in \( n \) prove.
Nota. Lo schema di Bernoulli è un modello essenziale nel calcolo delle probabilità, perché consente di trattare con precisione situazioni reali in cui un esperimento binario viene ripetuto più volte in condizioni stabili. È alla base della distribuzione binomiale.
Un esempio
Una macchina produce un pezzo difettoso con probabilità \( p = 0.05 \).
Un pezzo può quindi essere:
- difettoso: \( p = 0.05 \)
- non difettoso: \( q = 1 - p = 0.95 \)
Esamino un campione di \( n = 10 \) pezzi.
Qual è la probabilità di ottenere $ k=1 $ pezzi difettosi?
La probabilità di ottenere un solo pezzo $ k=1 $ difettoso è:
$$ P(1;10) = \binom{10}{1} (0.05)^1 (0.95)^9 $$
Sapendo che il coefficiente binomiale è \( \binom{10}{1} = 10 \)
$$ P(1;10) = 10 \cdot 0.05 \cdot 0.630 = 0.315 $$
La probabilità di trovare esattamente un pezzo difettoso su 10 è circa 31,5%.
E qual è la probabilità di ottenere $ k=2 $ pezzi difettosi?
Per sapere la probabilità che, su un campione di \( n = 10 \) pezzi, esattamente 2 siano difettosi, riutilizzo lo schema di Bernoulli.
$$ P(2;10) = \binom{10}{2} (0.05)^2 (0.95)^8 $$
In questo caso, il coefficiente binomiale è
$$ \binom{10}{2} = 45 $$
Questo vuol dire che esistono 45 modi diversi di ottenere 2 pezzi difettosi in 10 prove.
Nota. Il coefficiente binomiale si calcola con la formula: $$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} $$ In questo caso $$ \binom{10}{2} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} $$ $$ \require{cancel} \binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9 \cdot \cancel{ 8! }}{2 \cdot 1 \cdot \cancel{ 8! }} $$ $$ \binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} $$ $$ \binom{10}{2} = \frac{90}{2} = 45 $$ Il trucco è che i fattoriali in comune \(( 8! ) \) si semplificano subito, e si calcolano solo i numeratori necessari.
Quindi, la formula diventa
$$ P(2;10) = 45 \cdot 0.0025 \cdot 0.6634 \approx 0.0747 $$
Pertanto, la probabilità che esattamente 2 pezzi su 10 siano difettosi è circa 7.47%.
Nota. Anche se esistono più combinazioni per ottenere 2 pezzi difettosi \(( \binom{10}{2} = 45 ) \) rispetto a 1 solo \(( \binom{10}{1} = 10 ) \), la probabilità complessiva è più bassa. $$ 0.05^2 = 0.0025 \ll 0.05 $$ Questo perché servono due eventi rari simultanei. In altre parole, il numero di combinazioni aumenta con \( k \) ma la probabilità di ciascuna configurazione diminuisce più rapidamente. Per questa ragione, al crescere del numero di successi rari, la probabilità totale diminuisce.
In generale, questa tabella mostra la probabilità al variare del numero dei successi $ k $.
| k (pezzi difettosi) | \( \binom{10}{k} \) | Probabilità \( P(k;10) \) |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 0.5987 |
| 1 | 10 | 0.3151 |
| 2 | 45 | 0.0747 |
| 3 | 120 | 0.0100 |
| 4 | 210 | 0.0009 |
| 5 | 252 | 0.00006 |
| 6 | 210 | 0.0000032 |
| 7 | 120 | 0.00000012 |
| 8 | 45 | 3.4 × 10⁻⁹ |
| 9 | 10 | 6.6 × 10⁻¹¹ |
| 10 | 1 | 9.8 × 10⁻¹³ |
Come si può vedere, anche se ogni pezzo ha il 5% di probabilità di essere difettoso, la probabilità totale scende esponenzialmente con l'aumentare di $ k $, perché $ p^k $ diventa molto piccolo.
Ad esempio, la probabilità $ P(10;10) $ di ottenere tutti i pezzi difettosi \( $ k=10 \) è praticamente nulla, circa 1 su mille miliardi.
Il caso della probabilità cumulativa
Quando voglio calcolare la probabilità di ottenere al massimo \( k \) successi, devo sommare tutte le probabilità da 0 a \( k \):
$$ P(\le k;,n) = \sum_{i=0}^{k} P(i;,n) $$
Questa quantità rappresenta la probabilità complessiva di tutti gli esiti favorevoli con numero di successi non superiore a $ k $.
Esempio
Riprendo il caso precedente di $ n=10 $ prove e probabilità \( p = 0.05 \) che un pezzo sia difettoso.
Voglio calcolare la probabilità di ottenere non più di due pezzi difettosi.
In questo caso devo sommare le probabilità di ottenere uno, due o zero pezzi difettosi.
$$ P(\le 2;10) = P(0;10) + P(1;10) + P(2;10) $$
Nella tabella ho già calcolato tutti i valori, quindi mi basta sostituirli.
$$ P(\le 2;10) = 0.59874 + 0.31512 + 0.07465 = 0.98851 $$
Quindi, la probabilità di ottenere al massimo 2 pezzi difettosi su 10 è 98.851%.
In pratica, quasi tutti i campioni avranno zero, uno o due difetti. In questo esempio gli eventi con 3 o più difetti sono molto rari.
Nota. Quando devo calcolare la probabilità di almeno \( k \) successi, spesso mi conviene usare il complemento della probabilità cumulativa. $$ P(\ge k;n) = 1 - \sum_{i=0}^{k-1} P(i;n) $$ Questo perché il complemento riduce i calcoli. Invece di sommare tanti casi positivi, sommo pochi casi negativi da 0 a k-1. Ad esempio, voglio calcolare la probabilità che ci siano al massimo 8 pezzi difettosi. $$ P(\le 8;10) $$ ossia $$ P(\le 8;10) = P(0;10)+P(1;10)+P(2;10)+...+P(7;10)+P(8;10) $$ In questo caso conviene usare il complemento perché è più semplice calcolare i casi rari piuttosto che sommare molti casi. La probabilità di avere non più di 8 pezzi difettosi su 10 è il complemento della probabilità di avere 9 o 10 pezzi difettosi. Scrivo quindi: $$ P(\le 8;10) = 1 - P(\ge 9;10) $$ Poi sviluppo il termine a destra $ P(\ge 9;10) = P(9;10) + P(10;10) $ $$ P(\le 8;10) = 1 - P(9;10) - P(10;10) $$ In questo modo devo solo calcolare la distribuzione binomiale con \( n=10 \) e \( p=0.05 \) di questi due casi: $$ P(9;10) = \binom{10}{9} (0.05)^9 (0.95) = 6.6 × 10^{-11} $$ $$ P(10;10) = \binom{10}{10} (0.05)^{10} = 9.8 × 10^{-13} $$ Questi valori sono estremamente piccoli. Sommandoli ottengo: $$ P(9;10) + P(10;10) \approx 0.00000000002 $$ Quindi: $$ P(\le 8;10) = 1 - 0.00000000002 \approx 0.99999999998 $$ In pratica, la probabilità di avere al massimo 8 pezzi difettosi su 10 è circa del 99.9%, ossia è praticamente certa Questo esempio mostra bene perché il complemento è uno strumento fondamentale nel calcolo delle probabilità. In generale, quando l’evento è molto probabile, conviene calcolare la probabilità dell’evento opposto, che spesso coinvolge pochi casi e numeri molto piccoli, riducendo notevolmente i calcoli.
E così via.
