Teorema della somma di eventi incompatibili
Se E1 ed E2 sono due eventi incompatibili all'interno degli eventi, la probabilità che si verifichi l'evento unione, cioè che si verifichi almeno uno tra E1 ed E2, è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi: $$ P(E1∪E2)=P(E1)+P(E2) $$
Dove
- P(E1∪E2) è la probabilità dell'evento unione, ovvero la probabilità che si verifichi almeno uno tra E1 ed E2.
- P(E1) è la probabilità che si verifichi l'evento E1.
P(E2) è la probabilità che si verifichi l'evento E2
Il teorema della somma degli eventi incompatibili è un principio fondamentale della teoria delle probabilità.
Quando due eventi sono incompatibili?
Due eventi si definiscono eventi incompatibili (o mutualmente esclusivi) quando la verificazione di uno esclude automaticamente la possibilità che si verifichi l'altro all'interno dello stesso esperimento.
In termini più formali, due eventi E1 ed E2 sono incompatibili se la loro intersezione è un insieme vuoto.
$$ P(E1∩E2)=Ø $$
Dimostrazione. La dimostrazione di questo teorema deriva direttamente dalla definizione di probabilità classica, che considera la probabilità di un evento come il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero totale di casi possibili. Nel caso di eventi incompatibili, non essendoci sovrapposizioni, i casi favorevoli all'evento unione corrispondono alla somma dei casi favorevoli ai singoli eventi.
Un esempio pratico
In un urna ci sono 20 palline di cui 8 nere, 7 rosse e 5 bianche.
Se estraggo una pallina a caso dall'urna, ci sono tre eventi possibili
- E1 = esce una pallina nera
- E2 = esce una pallina rossa
- E3 = esce una pallina bianca
Sono tre eventi incompatibili perché il verificarsi di un evento esclude quello degli altri.
Le probabilità dei tre eventi sono
$$ p(E_1) = \frac{8}{20} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $$
$$ p(E_2) = \frac{7}{20} $$
$$ p(E_3) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} $$
Quindi, la probabilità dell'evento unione che esca una pallina nera oppure bianca è la seguente
$$ p(E_1 \cup E_3) = \frac{2}{5} + \frac{1}{4} $$
$$ p(E_1 \cup E_3) = \frac{2 \cdot 4 + 1 \cdot 5}{20} $$
$$ p(E_1 \cup E_3) = \frac{8 + 5}{20} $$
$$ p(E_1 \cup E_3) = \frac{13}{20} $$
$$ p(E_1 \cup E_3) = 0.65 $$
Pertanto, la probabilità dell'evento unione di estrare una pallina nera o bianca è 0.65 ovvero il 65%.
Esempio 2
Considero un mazzo di carte composto da 52 carte.
E1: "Esce un asso"
E2: "Esce il re di cuori"
Questi due eventi sono incompatibili, perché non è possibile estrarre contemporaneamente un asso e il re di cuori con una sola carta.
Poiché ci sono quattro assi in un mazzo di carte, la probabilità di estrarre un asso (E1) è 4/52
$$ p(E1) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} $$
La probabilità dell'evento E2 è, invece, 1/52 perché c'è solo un re di cuori nel mazzo di 52 carte.
$$ p(E2) = \frac{1}{52} $$
Applico il teorema della somma di eventi incompatibili per trovare la probabilità di estrarre un asso o il re di cuori:
$$ P(E1∪E2)= P(E1) + P(E2) $$
$$ P(E1∪E2)= \frac{1}{52}+ \frac{4}{52} $$
$$ P(E1∪E2)= \frac{1+4}{52} $$
$$ P(E1∪E2)= \frac{5}{52} $$
Quindi, la probabilità di estrarre un asso o il re di cuori da un mazzo di carte da gioco standard è di 5/52, che è circa il 9.62%.
E così via.
