Teorema del prodotto delle probabilità
Secondo il teorema del prodotto la probabilità che avvengano sia l'evento A sia l'evento B \( P(A \cap B) \) è uguale al prodotto della probabilità \( P(A) \) che avvenga l'evento A per la probabilità condizionata \( P(B|A) \) che avvenga l'evento B dato A, considerando l'evento A è già avvenuto. $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) $$
Il teorema del prodotto delle probabilità", noto anche come regola del prodotto, è un concetto fondamentale nel campo della probabilità e della statistica.
A cosa serve?
Fornisce un metodo per calcolare la probabilità che due o più eventi avvengano simultaneamente, basandosi sulla conoscenza delle probabilità degli eventi singoli e delle loro interrelazioni.
Questo teorema può essere applicato sia agli eventi dipendenti che a quelli indipendenti.
- Eventi dipendenti
Per eventi dipendenti, dove l'occorrenza di un evento influisce sulla probabilità dell'altro evento, il teorema viene utilizzato nella sua forma completa.$$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) $$ - Eventi indipendenti
Nel caso in cui due eventi siano indipendenti, cioè l'occorrenza di uno non influenza l'altro, il teorema si semplifica nel prodotto delle probabilità dei singoli eventi, perché in questo caso la probabilità condizionata p(B|A)=p(B) è uguale alla probabilità del singolo evento. $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$
Nota. Il teorema presuppone una buona comprensione delle relazioni di dipendenza o indipendenza tra gli eventi, e la conoscenza delle probabilità dei singoli eventi. Per un approfondimento sulla differenza tra gli eventi dipendenti e indipendenti.
Un esempio pratico
Considero il lancio di due dati e la probabilità di ottenere un 4 su un dado e un 6 su un altro dado.
Ci sono due eventi
- A = "esce il 4 sul primo dado"
- B = "esce il 6 sul secondo dado"
La probabilità che si verifichi l'evento A è p(A)=1/6 perché il dado ha sei facce e solo una faccia ha il numero 4.
$$ p(A)= \frac{1}{6} $$
La probabilità condizionata p(B|A) che si verifichi l'evento B dato l'evento A è sempre p(B|A)=1/6, perché l'informazione sull'esito del primo lancio non modifica la probabilità del secondo lancio.
$$ p(B|A)= p(B) = \frac{1}{6} $$
Quindi i due eventi sono indipendenti, perché i due eventi non si influenzano. Il fatto che esca un 4 dal primo dado non modifica la probabilità che esca un 6 sul secondo dado.
In questo caso la probabilità che si verifichino entrambi è il prodotto delle probabilità individuali.
$$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) $$
Sapendo che p(B|A)=p(B)
$$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$
$$ P(A \cap B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} $$
$$ P(A \cap B) = \frac{1}{36} = 0.027 $$
Esempio 2
Considero un urna con 20 palline di cui 12 bianche e 8 nere.
Voglio calcolare la probabilità di estrarre due palline bianche, senza rimettere nell'urna quelle estratte.
Quindi, ci sono due eventi:
- A = "la prima pallina estratta è bianca"
- B = "la seconda pallina estratta è bianca"
La probabilità di estrarre una pallina bianca al primo tentativo (evento A) è il numero di palline bianche diviso il numero totale di palline nell'urna.
$$ p(A) = \frac{12}{20} $$
Dopo aver estratto una pallina bianca, rimangono 11 palline bianche e 19 palline in totale nell'urna.
Quindi, la probabilità di estrarre una seconda pallina bianca (evento B, dato A) è p(B|A)=11/19
$$ p(A) = \frac{11}{19} $$
Applico il teorema del prodotto per calcolare la probabilità che i due eventi si verifichino simultaneamente, ossia la probabilità dell'evento intersezione (A∩B).
$$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) $$
$$ P(A \cap B) = \frac{12}{20} \cdot \frac{11}{19} $$
$$ P(A \cap B) = 0.347 $$
La probabilità di estrarre due palline bianche da un'urna contenente 12 palline bianche e 8 nere, senza rimettere nell'urna le palline estratte, è circa 0.347 ossia 34.7%.
Questo significa che mi posso aspettare di ottenere due palline bianche in sequenza in un terzo delle estrazioni.
E così via
