Probabilità degli eventi

A ogni evento E di uno spazio degli esiti S è associata una probabilità dell'evento P(E).

Quando un esperimento è ripetuto un gran numero di volte, un evento tende a presentarsi con una frequenza relativa empirica costante pari alla sua probabilità P(E).

La probabilità di un evento deve rispettare alcuni assiomi.

1. Assioma 1
   La probabilità dell'evento è un numero compreso tra 0 e 1. $$ 0 \le P(E) \le 1 $$
2. Assioma 2
   La somma delle probabilità degli eventi in uno spazio degli esiti è pari a 1. $$ P(S)=1 $$
3. Assioma 3
   Se gli eventi dello spazio degli esiti è un insieme finito composto da eventi mutuamente esclusivi, ossia se si presenta un evento E1 non possono verificarsi gli altri, allora la probabilità che si presenti almeno un evento è uguale alla somma delle loro probabilità. $$ P( U_{i=1}^n E_i ) = \sum_{i=1}^n P(E_i) $$

   Esempio. Lanciando un dado, l'evento E si verifica quando esce 2 mentre l'evento F si verifica quando esce 1. Le probabilità degli eventi sono P(E)=1/6 e P(F)=1/6. I due eventi sono mutuamente esclusivi. Quindi, la probabilità che esca 1 o 2 è pari alla somma P(E)+P(F)=1/6+1/6=1/3.

Osservazioni

Ecco alcune osservazioni pratiche

1. Quando due eventi non sono mutuamente esclusivi possono verificarsi contemporaneamente.
   In questo caso, per calcolare la probabilità che si verifichi un evento o l'altro occorre rettificare la formula $$ P(E∪F) = P(E)+P(F)-P(E⋂F) $$
2. Dato un evento E, per calcolare la probabilità che non si verifichi devo considerare l'insieme complementare E^c. L'insieme complementare E^c comprende tutti gli eventi dello spazio degli esiti diversi da E. Quindi, la probabilità che l'evento E non si verifichi è pari a uno meno la probabilità dell'evento. $$ P(E^c) = 1 - P(E) $$

   Esempio. Se lo spazio degli esiti del lancio di un dado è composto da sei eventi, uno per ogni faccia. L'evento E è l'uscita del numero 2 e ha probabilità P(E)=1/6. Pertanto, la probabilità che non si verifichi è pari a P(E^c)=1-1/6=5/6.

Esempio

Il 35% della popolazione ha un'automobile (evento E), il 10% ha una moto (evento F). Il 5% ha sia un'automobile che una moto (E ⋂ F).

Qual è la percentuale di popolazione che non possiede né un'automobile, né una moto?

Per prima cosa calcolo la percentuale di persone che ha almeno un'auto o una moto.

$$ P(E ∪ F) = P(E)+P(F)-P(E ⋂ F) = 0.35+0.10-0.05 = 0.40 $$

Quindi, il 40% della popolazione possiede almeno un'automobile o una moto.

Di conseguenza, il 60% della popolazione non possiede né una moto, né un'automobile.

$$ 1 - 0.4 = 0.6 $$

E così via