Probabilità condizionata

La probabilità condizionata misura la probabilità dell'evento E (evento condizionato) se si è già verificato l'evento A (evento accessorio o condizionante).

E' anche detta probabilità a posteriori.

Se gli eventi sono eventi dipendenti, la probabilità condizionata p(E|A) si misura tramite questa formula:

$$P(E|A) = \frac{P(E \cap A)}{P(A)}$$

Dove E è l'evento condizionato e A è l'evento condizionante.

• P(E|A) è la probabilità condizionata di E dato A.
• P(E∩A) è la probabilità che entrambi gli eventi E e A si verifichino (probabilità congiunta).
• P(A) è la probabilità dell'evento condizionante A.

La probabilità condizionata aiuta a ricalcolare la probabilità dell'evento E tenendo conto dell'informazione addizionale che l'evento A è già accaduto.

Nota. La probabilità dell'evento condizionante P(A) non deve essere nulla. In caso contrario si cadrebbe in una divisione per zero. $$P(A) \ne 0$$

Se i due eventi sono eventi indipendenti la probabilità condizionata di uno non è influenzata dall'occorrenza dell'altro. In questo caso, la probabilità dell'evento E non cambia.

$$P(E∣A)=P(E)$$

Esempio. Ecco qualche esempio pratico


• La probabilità che piova (evento E) sapendo che ieri ha piovuto (evento A).
• La probabilità di non passare un esame (evento E) se uno studente non ha studiato abbastanza (evento A).
• La probabilità di subire un infarto (evento E) se il paziente è anziano (evento A).

Un esempio pratico

Esempio 1

Qual è la probabilità di pescare un asso da un mazzo di carte, sapendo che la carta pescata è di cuori?

In questo caso l'evento condizionato E è "pescare un asso" mentre l'evento condizionante A è "pescare una carta di cuori".

In un mazzo standard di carte da gioco, ci sono 52 carte in totale. Tra queste, ci sono 4 assi e 13 carte di cuori (incluso un asso di cuori).

La probabilità di pescare un carta di cuori è p(A)= 13/52

$$p(A) = \frac{13}{52}$$

La probabilità di pescare un asso sapendo che la carta estratta è una carta di cuori è p(E∩A)=1/52 perché c'è un solo asso di cuori nel mazzo.

$$p(E∩A) = \frac{1}{52}$$

A questo punto uso la formula della probabilità condizionata:

$$P(E|A) = \frac{P(E \cap A)}{P(A)}$$

$$P(E|A) = \frac{ \frac{1}{52} }{ \frac{13}{52} }$$

$$P(E|A) = \frac{1}{52} \cdot \frac{52}{13}$$

$$P(E|A) = \frac{1}{13}$$

$$P(E|A) = 0.769$$

Quindi, la probabilità di pescare un asso, sapendo che la carta pescata è di cuori, è circa 0.076 o $7.6\%$.

Questo significa che, una volta saputo che la carta estratta è una carta di cuori, c'è una probabilità del 7.7% che sia anche un asso.

Esempio 2

Il 70% della popolazione porta i pantaloni, il 30% la gonna.

La probabilità che un passante a caso abbia i pantaloni è p(A)=70%

$$p(E)=70%$$

Dove E è l'evento che passi una persona con i pantaloni.

Sapendo che il prossimo passante è una donna (evento condizionante A), devo calcolare la probabilità condizionata p(E|A) dell'evento E noto A.

$$P(E|A) = \frac{P(E \cap A)}{P(A)}$$

La probabilità che passi una donna è del 60% perché 6 persone su 10 sono donne p(A)=0.6

La probabilità che passi una donna con i pantaloni (E⋂A) è del 30% perché 3 persone su 10 sono donne che portano i pantaloni p(E⋂A)=0.3

Quindi, la probabilità condizionata è

$$P(E|A) = \frac{0.3}{0.6} = 0.50$$

La probabilità che il prossimo passante porti i pantaloni (evento E) sapendo che il prossimo passante è una donna (evento A) è del 50%.

Esempio 3

Il lancio di due dadi genera uno spazio degli esiti S composto da 36 esiti.

$$(i,j)$$

Dove i=1,2,3,4,5,6 è la faccia ottenuta dal primo dado e j=1,2,3,4,5,6 è quella del secondo dato.

$$S = \begin{pmatrix} (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \end{pmatrix}$$

Se il primo dado è pari a 4 (evento condizionante A) qual è la probabilità che esca un risultato complessivo pari a 7 (evento condizionato E)?

$$P(E|A)= \frac{P(E \cap A)}{P(A)}$$

La probabilità P(E⋂A) che la somma sia pari a 7 e il primo dado sia pari a 4 è 1/36 perché l'unico esito che soddisfa questa ipotesi è l'esito (4,3) in uno spazio S composto da 36 esiti complessivi.

Quindi P(E⋂A)=1/36

$$P(E|A)= \frac{\frac{1}{36}}{P(A)}$$

La probabilità che esca l'evento condizionante ossia 4 nel secondo dado è P(A)=1/6 perché il dado ha sei facce.

$$P(E|A)= \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{6}}$$

Svolgo i calcoli algebrici

$$P(E|A)= \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{36} \cdot \frac{6}{1} = \frac{1}{6}$$

Pertanto, la probabilità condizionata che la somma sia uguale a 7 dato il risultato del primo dado pari a 4 è P(E|A)=1/6.

E così via.