L'evento unione

Dati due eventi \( E_1 \) e \( E_2 \) relativi allo stesso insieme universo, l'evento unione, indicato come \( E_1 \cup E_2 \), è l'evento che si verifica al verificarsi di almeno uno degli eventi.

In altre parole, l'evento unione (o somma logica) si riferisce all'occasione in cui almeno uno di due o più eventi si verifica. $$ E_1 \cup E_2 $$

E' un concetto fondamentale nella teoria delle probabilità.

Può essere visualizzato come l'unione di due o più insiemi di risultati possibili.

Un esempio pratico

Considero il lancio di un dado a sei facce.

Lo spazio degli esiti è composto da sei possibilità, una per ogni faccia del dado.

$$ U = \{ 1,2,3,4,5,6 \} $$

A questo punto prendo in considerazione due eventi distinti:

• L'evento E₁ "esce un numero pari" ha il seguente l'insieme dei casi favorevoli $$ F_1 = \{ 2, 4, 6 \} $$
• L'evento E₂ "esce un numero maggiore di 3" ha il seguente insieme dei casi favorevoli $$ F_2 = \{4, 5, 6 \} $$

L'evento unione tra E₁ ed E₂, indicato come $ E_1 \cup E_2 $, si verifica quando esce un numero pari o un numero maggiore di 2

Quindi, l'insieme dei casi favorevoli all'evento unione è:

$$ A \cup B = \{2, 4, 6 \} \cup \{4, 5, 6 \} = \{2, 4, 5, 6 \} $$

In altre parole, l'evento unione incorpora tutti i casi favorevoli di ciascuno degli eventi considerati.

La probabilità che si verifichi l'evento unionè si ottiene tramite il rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibili, ovvero il rapporto tra la cardinalità dell'insieme dei casi favorevoli e quella dell'insieme dei casi possibili.

$$ p(A \cup B ) = \frac{| E_1 | }{ | U | } $$

$$ p(A \cup B ) = \frac{| \{2, 4, 5, 6 \} | }{ | \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \} | } $$

$$ p(A \cup B ) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} = 0.66 $$

In conclusione la probabilità dell'evento unione è 0.66 ossia il 66%

$$ p(A \cup B ) = 0.66 $$

Dal punto di vista grafico se visualizzo gli insiemi in un diagramma di Eulero-Venn, l'evento unione corrisponde all'unione degli insiemi ossia all'area coperta da entrambi gli insiemi, inclusa l'intersezione.

In pratica, l'evento unione fornisce una visione comprensiva di tutti i possibili esiti favorevoli di due o più eventi.

E così via.