Evento
Nel calcolo delle probabilità un evento E è un sottoinsieme dell'insieme degli esiti. L'evento contiene soltanto gli esiti possibili che lo verificano.
Un esempio di evento
Nel lancio di un dado lo spazio degli esiti è un insieme finiti con 6 elementi (esiti possibili)
$$ S = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} $$
Un esempio di evento E è l'uscita di un numero pari.
L'evento E è un insieme con tre esiti.
$$ E = \{ 2, 4, 6 \} $$
Un altro evento è l'uscita dei numeri dispari
Anche l'evento D è un insieme con tre esiti.
$$ D = \{ 1, 3, 5 \} $$
Un altro evento è l'uscita di un numero inferiore a 3
L'evento F è un insieme con due esiti
$$ F = \{ 1, 2 \} $$
I tre eventi D, E, F posso rappresentarli graficamente con un diagramma di Venn.
Dove S è lo spazio degli esiti e i cerchi numerati sono gli esiti.
L'evento vuoto
Se un evento non ha nessun elemento (esito) è detto evento vuoto e si indica con il simbolo degli insiemi vuoti
Ad esempio, l'evento F dei numeri negativi del lancio di un dado è un evento vuoto perché non contiene esiti possibili.
$$ F = \{ \} = Ø $$
Relazione di inclusione e uguaglianza
Quando tutti gli esiti di un evento A appartengono anche a un altro evento B, si dice che A è contenuto in B $$ A ⊂ B $$
I due eventi sono in una relazione di inclusione.
Questo vuol dire che se si verifica A, si verifica anche B.
Esempio. L'evento G contiene tutti gli esiti che diano un punteggio pari a 2 con il lancio di un dado $$ G = \{ 2 \} $$ L'evento G è contenuto nell'evento E dei numeri pari. $$ G ⊂ E $$ ossia $$ \{ 2 \} ⊂ \{ 2, 4, 6 \} $$ Visto con i diagrammi di Venn
Se entrambi gli eventi hanno una relazione di inclusione reciproca, vuol dire che gli insiemi hanno gli stessi esiti.
$$ A ⊂ B, A ⊃ B \Leftrightarrow A=B $$
In questo caso i due eventi sono in relazione di uguaglianza.
L'unione e l'intersezione degli eventi
L'unione degli eventi EUD comprende tutti gli esiti degli eventi E e D. Si verifica quando almeno uno degli eventi di E o D si verifica.
$$ E \cup D = \{ 2,4,6 \} \cup \{ 1,3,5 \} = \{ 1,2,3,4,5,6 \} $$
In questo caso l'unione coincide con lo spazio degli esiti
L'intersezione degli eventi E⋂F è un insieme formato dagli esiti presenti sia in E che in F.
$$ E \cap F = \{ 2,4,6 \} \cap \{ 1,2 \} = \{ 2 \} $$
Vista graficamente
L'intersezione vuota di due eventi vuol dire che i due eventi non possono verificarsi contemporaneamente e sono detti eventi disgiunti o eventi mutamente esclusivi.
$$ E \cap D = \{ 2,4,6 \} \cap \{ 1,3,5 \} = \{ \} $$
Complementare di un evento
Il complementare Fc di un evento F è l'insieme formato dagli esiti che non verificano F.
Esempio
Se l'evento F è l'insieme dei numeri inferiori a tre ottenuti lanciando un dado
$$ F = \{ 1, 2 \} $$
il suo complementare è l'insieme dei numeri di un dado superiori a due.
$$ F^c = \{ 3, 4, 5, 6 \} $$
In un diagramma di Venn
E così via.
