Il teorema della scomposizione di un evento su una partizione

Dato un evento qualsiasi \( E \subseteq U \) e una partizione \( {E_1, E_2, \dots, E_n} \) dello spazio campionario \( U \), l’evento \( E \) può essere scritto come l'unione di eventi più semplici.  $$ E = (E \cap E_1) \cup (E \cap E_2) \cup \dots \cup (E \cap E_n) $$ Dove gli eventi ( E \cap E_i ) sono a due a due incompatibili.

Il teorema della scomposizione di un evento non introduce nuove leggi probabilistiche. E' solo un risultato logico di natura insiemistica.

Tuttavia, costituisce la base concettuale della probabilità totale, perché mi permette di organizzare correttamente lo spazio dei casi possibili, rendendo il calcolo delle probabilità più chiaro e controllabile anche in situazioni complesse. 

Nota. Il teorema della scomposizione è un passaggio concettuale fondamentale su cui si basa il teorema di Bayes.

Spiegazione

Considero uno spazio campionario $ U $ di un esperimento casuale.

Un insieme di eventi \( E_1, E_2, \dots, E_n \) si dice partizione di \( U \) se gli eventi \( E_i \) coprono tutto lo spazio campionario e non si sovrappongono tra loro.

• \( E_i \ne \varnothing \) per ogni \( i = 1, 2, \dots, n \)
• \( E_i \cap E_j = \varnothing \) per \( i \ne j \)
• \( E_1 \cup E_2 \cup \dots \cup E_n = U \)

In altre parole, ciascun evento della partizione non è vuoto, due eventi distinti non possono verificarsi contemporaneamente (sono incompatibili) e l’unione di tutti gli eventi coincide con lo spazio campionario.

Poiché \( E_1 \cup E_2 \cup \dots \cup E_n = U \) allora l'intersezione di un evento \( E \) con lo spazio \( U \) è l'insieme \( E \) stesso.

$$ E = E \cap U $$

Sostituisco \( U \) e ottengo:

$$ E = E \cap (E_1 \cup E_2 \cup \dots \cup E_n) $$

Applico la proprietà distributiva dell’intersezione rispetto all’unione e ottengo:

$$ E = (E \cap E_1) \cup (E \cap E_2) \cup \dots \cup (E \cap E_n) $$

Sapendo che gli eventi sono incompatibili a due a due, ossia non si sovrappongono, se \( i \ne j \) allora:

$$ (E \cap E_i) \cap (E \cap E_j) = E \cap (E_i \cap E_j) = \varnothing $$

Quindi anche gli eventi \( E \cap E_i \) risultano incompatibili a due a due.

Essendo incompatibili, le loro probabilità possono essere sommate. Ottengo così:

$$ p(E) = p(E \cap E_1) + p(E \cap E_2) + \dots + p(E \cap E_n) $$

Questa relazione prende il nome di formula della probabilità totale.

In questo modo ho scomposto la probabilità di un evento \( E \) in una somma di probabilità dei casi in cui \( E \) si verifica all’interno dei singoli eventi di una partizione dello spazio campionario.

Un esempio pratico

Considero un’urna che contiene 10 palline numerate, di due colori diversi:

• 6 palline bianche di cui 2 con numero pari
• 4 palline nere di cui 3 con numeri pari

Da quest'urna estraggo una pallina a caso.

In questo esempio descrivo lo spazio campionario \( U \) in base al colore della pallina estratta, trascurando le altre caratteristiche. Gli esiti possibili sono quindi due.

$$ U = \{ bianca \ , nera \} $$

Definisco due eventi che costituiscono una partizione di \( U \):

• \( E_1 \): la pallina estratta è bianca
• \( E_2 \): la pallina estratta è nera

Gli eventi \( E_1 \) ed \( E_2 \) sono incompatibili perché se una pallina è bianca allora non è nera, e viceversa.

$$ E_1 \cap E_2 = \emptyset $$

Inoltre, \( E_1 \) ed \( E_2 \) coprono l'intero spazio campionario \( U \)

$$ E_1 \cup E_2 = U $$

Quindi, \( E_1 \) ed \( E_2 \) sono una partizione di \( U \)

Definisco ora l’evento \( E \): la pallina estratta ha numero pari.

So già che tra le 6 palline bianche, 2 hanno numero pari e tra le 4 palline nere, 3 hanno numero pari

A questo punto applico il teorema della scomposizione dell'evento sulla partizione dello spazio \( U \):

$$ E = (E \cap E_1) \cup (E \cap E_2) $$

Dove \( E \cap E_1 \) indica una pallina bianca e pari, mentre \( E \cap E_2 \) una pallina nera e pari. Questi due eventi sono incompatibili.

Calcolo la probabilità dei due eventi:

$$ p(E \cap E_1) = \frac{2}{10} $$

$$ p(E \cap E_2) = \frac{3}{10} $$

Poiché i due eventi sono incompatibili, la probabilità dell'evento \( E \) è la somma delle loro probabilità

$$ p(E) = p(E \cap E_1) + p(E \cap E_2) $$

$$ p(E) = \frac{2}{10} + \frac{3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $$

$$ p(E) = \frac{1}{2} $$

In questo modo la probabilità dell’evento “numero pari” non viene calcolata direttamente, ma viene scomposta nei casi “bianca” e “nera”.

La scomposizione rende evidente come la probabilità totale nasce dalla somma dei contributi dei singoli scenari della partizione.

Nota. Avrei potuto calcolare la probabilità dell'evento "numero pari" anche senza distinguere il colore delle palline. Poiché nell'urna ci sono $ 2+3 = 5 $ palline con numero pari su $ 10 $, la probabilità dell'evento è $$ p(E) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $$ Ovviamente il risultato è lo stesso.

 E così via.