Valore atteso

Il valore atteso E[X] di una variabile aleatoria X è la media pesata dei valori x_i che può assumere la variabile moltiplicati per le probabilità di verificarsi $$E[X] = \sum_i x_i \cdot p(x_i)$$

Il valore atteso potrebbe essere uno degli esiti della variabile aleatoria oppure no.

Essendo una media pesata, il valore atteso è un valore a cui tende il fenomeno dopo molte ripetizioni.

Un esempio pratico

Il lancio del dado conduce a sei esiti possibili.

$$X = \ { \ 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \ 4 \ , \ 5 \ , \ 6 \ }$$

Ogni esito ha la stessa probabilità

$$p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)= \frac{1}{6}$$

Il valore atteso della variabile aleatoria è E(X)=3.5

$$E[X] = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = 3.5$$

Nota. In questo caso il valore atteso E(X)=3.5 non è un esito della variabile aleatoria X={1,2,3,4,5,6}. E' un valore limite a cui tende la media dei punteggi ottenuti dopo molti lanci del dado.

E così via.