La probabilità
La probabilità di un evento E è il rapporto tra il numero dei casi positivi/favorevoli (f) e il numero dei casi possibili (n). $$ p(E) = \frac{f}{n} $$
Il quoziente fra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibile fornisci una stima della possibilità che l'evento si verifichi.
La probabilità di un evento aleatorio è un numero compreso tra 0 e 1.
$$ 0 \le p(E) \le 1 $$
La probabilità di un evento certo è sempre pari a 1 mentre quello di un evento impossibile è sempre pari a 0.
A volte i valori delle probabilità sono indicati in termini percentuali dove 0% sta a 0 (evento impossibile) come 100% sta a 1 (evento certo).
$$ 0 \% \le p(E) \le 100 \% $$
Nota. Ci sono due interpretazioni diverse di probabilità. Secondo un'interpretazione frequentista la probabilità di un esito è una proprietà oggettiva dell'esito stesso. Ripetendo numerose volte l'esperimento la probabilità dell'esito converge a un determinato valore. Secondo un'interpretazione soggettivista, invece, la probabilità è una stima soggettiva da parte di chi analizza un evento. In questo caso ogni studioso può assegnare una propria probabilità a un esito.
L'insieme dei casi possibili di un evento è detto spazio degli eventi (o insieme universo) e spesso si indica anche con la lettera S, U oppure Ω.
L'insieme dei casi favorevoli (F) è, invece, un sottoinsieme dello spazio degli eventi S che contiene soltanto gli esiti favorevoli dell'evento E.
Poiché F è un sottoinsieme di U, l'insieme dei casi favorevoli ha sempre un numero minore o uguale di elementi rispetto all'insieme universo.
$$ |F| \le |U| $$
Nota. Quando l'insieme dei casi favorevoli è vuoto F=Ø l'evento è impossibile. Viceversa, quando l'insieme F coincide con U ossia F=U allora l'evento è certo.
Un esempio pratico
Il lancio di un dado può avere diversi esiti.
Poiché il dado ha sei facce, i casi possibili sono sei.
Lo spazio degli eventi è composto da n=6 elementi (sei casi possibili).
$$ S = \{1,2,3,4,5,6 \} $$
Per misurare la probabilità che esca il numero 3, devo calcolare il rapporto tra il numero dei casi favorevoli (f) e quello dei casi totali (n).
In questo caso, nell'insieme dei casi favorevoli (F) c'è un solo caso favorevole (f=1), quello in cui esca il numero 3.
$$ F=\{ 3 \} $$
Quindi, la probabilità della proposizione A="esce il numero 3" è pari a 0.16
$$ P(A) = \frac{|F|}{|S|} = \frac{f}{n} = \frac{1}{6} = 0.16 $$
In termini percentuali la probabilità dell'evento è pari al 16%.
Esempio 2
Qual è la probabilità che dal lancio del dado esca un numero pari?
In questo caso l'evento E è "esce un numero pari".
Lo spazio degli eventi è sempre lo stesso, è un insieme con n=6 casi possibili.
$$ S = \{1,2,3,4,5,6 \} $$
Nell'insieme dei casi favorevoli ci sono f=3 casi
$$ F = \{ 2 , 4, 6 \} $$
Quindi, la probabilità della proposizione A="esce un numero pari" è pari a 0.5
$$ P(A) = \frac{|F|}{|S|} = \frac{f}{n} = \frac{3}{6} = 0.5 $$
In termini percentuali la probabilità dell'evento è del 50%.
Differenza tra probabilità a priori e a posteriori
La probabilità può essere calcolata in due modi diversi, a seconda della natura del fenomeno o dell'evento aleatorio.
- Probabilità a priori (o teorica)
La probabilità a priori viene calcolata senza che siano eseguite delle prove concrete (dati empirici). Si basa su un modello teorico ideale costruito utilizzando la teoria della probabilità classica. In questi casi basta definire la probabilità come quoziente fra il numero dei casi favorevoli (F) e il numero dei casi possibili (N). $$ p = \frac{F}{N} $$ Dove F è un dato teorico ottenuto analizzando il problema.
Esempio. Un esempio tipico è il dado con 6 facce. Ogni faccia ha la stessa probabilità di uscire se il dado non è truccato. Quindi, non occorre fare nessuna stima per calcolare la probabilità. Mi basta sapere che ogni faccia ha una probabilità pari a 1/6.
- Probabilità a posteriori (statistica)
La probabilità a posteriori si determina attraverso l'accumulo di dati empirici reali ottenuti da una serie di prove ripetute, applicando la legge empirica del caso. Questo metodo sfrutta l'esperienza diretta e l'osservazione continua per fornire una stima più accurata e rappresentativa della probabilità di un evento. E' quella maggiormente impiegata nella statistica inferenziale. In pratica, si effettuano N prove e si misura quante volte si verifica un esito favorevole. La probabilità statistica è il quoziente tra i casi favorevoli ottenuti (F) e il numero totale delle prove effettuate (N). $$ p = \frac{F}{N} $$ Dove F è la quantità di eventi favorevoli rilevati durante le prove ripetute e gli esperimenti.
Esempio. Quando un dado è truccato la probabiltà teorica non riflette più la reale probabilità degli esiti. In questi casi ricorro alla probabilità a posteriori, misurando la probabilità dell'evento tramite la frequenza relativa degli esiti favorevoli di una serie di prove, osservazioni o esperimenti. Occorre però fare molte prove per avere una stima affidabile della probabilità. Secondo la legge empirica del caso, quante più osservazioni vengono fatte, tanto più la frequenza relativa (F/N) si avvicina alla reale probabilità dell'evento (P).
Quale delle due usare?
La probabilità a priori (teorica) è molto più affidabile, facile e veloce da calcolare ma non può essere calcolata su tutti gli eventi aleatori.
La probabilità a posteriori (statistica) viene in aiuto quando la probabilità del fenomeno aleatorio non può essere calcolata tramite la probabilità teorica.
Ad esempio, se un dado non è truccato la probabilità a priori è affidabile. Viceversa, se un dado è truccato è necessario calcolare la probabilità a posteriori.
In generale, la scelta dipende anche dal contesto e dal problema che devo affrontare.
La probabilità a priori è meno accurata in certi contesti, ma la probabilità a posteriori è molto più costosa, perché richiede molti dati e tempo per essere affidabile.
Spesso la scelta dipende anche dal proprio atteggiamento nei confronti del rischio e, quindi, è una scelta soggettiva.
Ad esempio, in situazioni dove dispongo di pochi dati, poco tempo per prendere una decisione e dove gli eventi sono già sufficientemente prevedibili, la probabilità a priori (teorica) potrebbe essere una stima accettabile perché più facile e rapida da calcolare, purché il margine di errore/rischio sia contenuto e le conseguenze di un eventuale errore non siano troppo elevate. In questi casi è opportuno scegliere dopo un'attenta analisi costi-benefici.
E così via
