Gioco equo
Un gioco equo in statistica è una situazione in cui non esiste un vantaggio per nessuna delle parti coinvolte.
In altre parole, in un gioco equo la somma puntata da ciascun giocatore deve essere proporzionale alla sua probabilità di vincere.
$$ S(A):p(A)=S(B):p(B) $$
Dove S(A) e S(B) sono le somme puntate dai giocatori A e B, mentre p(A) e p(B) sono le loro probabilità di vincere.
Questo implica che, data la probabilità di ciascun esito e la vincita/puntata associata, nessuno dei giocatori ha un vantaggio matematico.
Un esempio pratico
Considero il caso di un lancio di un dado a 6 facce.
Il dado è equilibrato, quindi ogni faccia del dado ha la stessa probabilità di occorrere, che è 1/6 per ogni faccia.
Il giocatore A vince se esce un 6, mentre il giocatore B vince se esce qualsiasi altro numero (1, 2, 3, 4 o 5).
Per rendere questo gioco equo, devo assicurarmi che la somma puntata sia proporzionale alla probabilità di vincere per ciascun giocatore.
$$ S(A):p(A)=S(B):p(B) $$
ovvero
$$ \frac{S(A)}{p(A)} = \frac{S(B)}{p(B)} $$
La probabilità di vincere del giocatore A è p(A)=1/6 perché c'è una probabilità di 1/6 che esca la faccia con il numero 6.
La probabilità di vincere del giocatore B, invece, è p(B)=5/6.
$$ \frac{S(A)}{ \frac{1}{6} } = \frac{S(B)}{ \frac{5}{6} } $$
$$ 6 \cdot S(A) = \frac{6}{5} \cdot S(B) $$
$$ 6 \cdot S(A) \cdot \frac{5}{6} = \frac{6}{5} \cdot S(B) \frac{5}{6} $$
$$ 5 \cdot S(A) = S(B) $$
Questo vuole dire che la puntata di B deve essere cinque volte quella di A.
Quindi, se il giocatore A punta 10 con una probabilità di vincita di 1/6, il giocatore B dovrebbe puntare 50 con una probabilità di vincita di 5/6 per mantenere il gioco equo.
E così via.
