Eventi dipendenti e indipendenti

Due eventi A e B sono considerati eventi dipendenti se la probabilità che un evento si verifichi p(A) influisce sulla probabilità dell'altro evento p(B) di verificarsi. In caso contrario, se non influisce, sono detti eventi indipendenti

Saper identificare gli eventi come indipendenti o dipendenti è cruciale, perché il calcolo della probabilità congiunta di due eventi varia a seconda se sono dipendenti o indipendenti.

• Eventi indipendenti
  Nel caso di eventi indipendenti, per ottenere la probabilità dell'evento intersezione p(A∩B) moltiplico tra loro le singole probabilità degli eventi p(A)·p(B). $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$

  Esempio. Sono eventi indipendenti il lancio della moneta e il lancio di un dado, perché l'esito del lancio della moneta non influenza quello del lancio del dado e viceversa.

• Eventi dipendenti
  Nel caso di eventi dipendenti per ottenere la probabilità dell'evento intersezione p(A∩B) calcolo il prodotto della probabilità dell'evento A per la probabilità condizionata di B dato A. $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) $$

  Esempio. Se piove (evento A) aumenta la probabilità che una persona porti un ombrello (evento B). E' un classico esempio di eventi dipendenti.

In generale, per il calcolo della probabilità sia di eventi indipendenti che dipendenti si applica il teorema del prodotto.

Questo perché la probabilità condizionata p(B|A) diventa uguale alla probabilità p(B) del singolo evento B quando gli eventi A e B sono indipendenti.

Eventi indipendenti

Due eventi sono considerati eventi indipendenti se la probabilità che un evento si verifichi non influisce sulla probabilità di verificarsi dell'altro evento. In termini matematici, due eventi A e B sono indipendenti se $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $$ dove P indica la probabilità.

In termini matematici, due eventi A e B sono eventi indipendenti se la probabilità che si verifichino entrambi P(A∩B), ossia la probabilità dell'evento intersezione A∩B, è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi P(A) e P(B)

$$ P(A∩B)=P(A) \cdot P(B) $$

Nel caso degli eventi indipendenti il calcolo della probabilità è molto semplice, perché basta moltiplicare le probabilità degli eventi tra loro.

Un esempio pratico

Lancio due volte una moneta sperando di avere due volte "testa".

Ci sono due eventi favorevoli.

• Evento A: "Esce testa al primo lancio della moneta".
• Evento B: "Esce testa al secondo lancio della moneta".

La probabilità che si verifichi l'evento A è p(A)=1/2 perché la moneta ha due facce e solo una è "testa".

$$ P(A) = \frac{1}{2} $$

La probabilità che si verifichi l'evento B è sempre la stessa p(B)=1/2

$$ P(B) = \frac{1}{2} $$

Si tratta di eventi indipendenti perché la probabilità del secondo evento p(B) non viene influenzata dall'esito del primo lancio.

Quindi, per ottenere la probabilità che esca due volte "testa", mi basta moltiplicare tra loro le singole probabilità degli eventi.

$$ P(A∩B)=P(A) \cdot P(B) $$

$$ P(A∩B)= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} $$

$$ P(A∩B)= \frac{1}{4} $$

$$ P(A∩B)= 0.25 $$

La probabilità che si verifichino entrambi gli eventi è P(A∩B)= 0.25 ossia il 25%. In altre parole una volta su quattro tentativi.

Eventi dipendenti

Due eventi sono considerati eventi dipendenti se la probabilità di un evento influisce sulla probabilità dell'altro evento. Per gli eventi dipendenti, si usa la probabilità condizionata p(B|A). $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) $$

In genere due eventi sono dipendenti quando glP(B|A)i eventi hanno una qualche forma di collegamento causale o condizionale.

Nota. Se gli eventi sono indipendenti (anziché dipendenti) la probabilità condizionata p(B|A)=p(A). Quindi, si rientra nel calcolo della probabilità degli eventi indipendenti. $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = P(A) \cdot p(B) $$

Un esempio pratico

Devo estrarre due carte da un mazzo di 52 carte, sperando che siano due assi.

Considero due eventi:

• Evento A: "Estrarre un asso alla prima estrazione".
• Evento B: "Estrarre un asso alla seconda estrazione".

La probabilità dell'evento A (pescare un asso alla prima estrazione) è P(A)=4/52​ poiché ci sono 4 assi in un mazzo di 52 carte.

$$ P(A)= \frac{4}{52} $$

Dopo la prima estrazione restano nel mazzo 51 carte. Una in meno.

Ora la probabilità dell'evento B (pescare un asso alla seconda estrazione) dipende dall'esito del primo evento

• Se l'evento A si è verificato, significa che ho già pescato un asso alla prima estrazione. Quindi, rimangono 3 assi nel mazzo di 51 carte. In questo caso, la probabilità che l'evento B si verifichi è p(B)=3/51 $$ P(A)= \frac{3}{51} = 0.058 $$
• Se l'evento A NON si è verificato, significa che non ho pescato un asso alla prima estrazione. Quindi, ci sono ancora 4 assi nel mazzo di 51 carte. In questo caso, la probabilità che l'evento B si verifichi è p(B)=4/51 $$ P(A)= \frac{4}{51} = 0.078 $$

In conclusione, la probabilità di pescare un asso alla seconda estrazione (evento B) dipende direttamente dall'esito della prima estrazione (evento A).

Questo è un chiaro esempio di eventi dipendenti.

In questi casi, per calcolare la probabilità congiunta devo ricorrere alla probabilità condizionata p(B|A), ipotizzando che il primo evento sia già verificato.

$$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) $$

La probabilità del primo evento è p(A)=4/52 mentre la probabilità condizionata del secondo evento è p(B|A)=3/51 perché la condiziono al fatto che la prima carta sia un asso.

$$ P(A \cap B) = \frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51} = 0.0045 $$

In conclusione, la comprensione della relazione tra eventi dipendenti e indipendenti è essenziale per la valutazione corretta delle probabilità e per prendere decisioni informate in situazioni di incertezza.