Come trasportare un fattore fuori dalla radice
Se il radicando contiene un fattore con esponente multiplo dell'indice, posso spostare il fattore fuori dalla radice dividendo l'esponente del fattore (m) per l'indice della radice (n). $$ \sqrt[n]{a^m \cdot a^q} = a^{\frac{m}{n}} \cdot \sqrt[n]{a^q} $$ Dove a≥0 e b≥0
Se il fattore ha un esponente maggiore dell'indice (m>n) ma non multiplo, posso usare le proprietà delle potenze per scomporlo in fattori non negativi e isolare un fattore con esponente multiplo dell'indice.
$$ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n]{a^{n \cdot q} \cdot a^r} = a^q \cdot \sqrt[n]{a^r} $$
Dove q=m/n è il quoziente mentre r è il resto della divisione ossia m=m·q+r
Nota. Se non conosco il segno del fattore, quando lo porto fuori dalla radice devo scrivere il fattore sotto valore assoluto. $$ \sqrt[2]{2 \cdot a^2} = |a^{\frac{2}{2}}| \cdot \sqrt[2]{2} = |a| \cdot \sqrt{2} $$
Un esempio pratico
Considero un radicale
$$ \sqrt[3]{a^6 \cdot b^2} $$
Il fattore a6 ha un esponente maggiore dell'indice della radice (6>3). Inoltre l'esponente del fattore è multiplo dell'indice 6=3·2.
Applico la regola del prodotto dei radicali per scomporre il prodotto dei radicandi nel prodotto di due radicali che hanno lo stesso indice
$$ \sqrt[3]{a^6} \cdot \sqrt[3]{ b^2} $$
Poi applico la proprietà invariantiva dei radicali.
Divido per 3 sia l'indice che l'esponente del radicando del primo radicale.
$$ \sqrt[\frac{3}{3}]{a^{\frac{6}{3}}} \cdot \sqrt[3]{b^2} $$
$$ \sqrt[\frac{\not{3}}{\not{3}}]{a^2} \cdot \sqrt[3]{ b^2} $$
In questo modo ho portato il fattore a2 fuori dalla radice
$$ a^2 \cdot \sqrt[3]{ b^2} $$
Nota. Il fattore b non posso trasportarlo fuori dalla radice perché l'esponente del radicando (2) è minore dell'indice della radice (3).
Esempio 2
Considero un radicale
$$ \sqrt[3]{a^7 \cdot b^2} $$
Il fattore a7 ha un esponente (7) maggiore dell'indice della radice (3). Tuttavia, in questo caso l'esponente non è multiplo dell'indice.
Calcolo il quoziente di 7:3=2 e individuo il resto q=1
$$ 7 = 2 \cdot 3 + 1 $$
Poi sostituisco l'esponente 7 con 2·3+1
$$ \sqrt[3]{a^{2 \cdot 3 + 1 } \cdot b^2} $$
Applico le proprietà delle potenze
$$ \sqrt[3]{a^{2 \cdot 3} \cdot a^1 \cdot b^2} $$
A questo punto applico la regola del prodotto dei radicali
$$ \sqrt[3]{a^{2 \cdot 3} } \cdot \sqrt[3]{ a \cdot b^2} $$
Infine, divido per 3 l'indice e l'esponente del radicando del primo radicale
$$ \sqrt[\frac{3}{3}]{a^{\frac{2 \cdot 3}{3}} } \cdot \sqrt[3]{ a \cdot b^2} $$
In questo modo ho portato il fattore a2 fuori dalla radice
$$ a^2 \cdot \sqrt[3]{ a \cdot b^2} $$
Esempio 3
Considero un radicale
$$ \sqrt[3]{a^7 + b^2 } $$
In questo caso non posso fare nulla perché il radicando non è il prodotto di fattori.
La dimostrazione
Considero un radicale
$$ \sqrt[n]{a^m \cdot b} $$
Se m<n il fattore non può uscire dal radicale
Se m≥n ci sono due casi possibili per trasportare il fattore fuori dal radicale
Caso 1
Se m>n con m=n·q multiplo dell'indice, uso il teorema del prodotto dei radicali per trasformare il prodotto dei radicandi in un prodotto dei radicali che hanno lo stesso indice
$$ \sqrt[n]{a^m} \cdot \sqrt[n]{b} $$
Sapendo che m=n·q sostituisco l'esponente del radicando
$$ \sqrt[n]{a^{n \cdot q}} \cdot \sqrt[n]{b} $$
Poi applico la proprietà invariantiva dei radicali sul primo radicale, dividendo l'indice e l'esponente del radicando per n
$$ \sqrt[\frac{n}{n}]{a^{\frac{n \cdot q}{n}}} \cdot \sqrt[n]{b} $$
$$ \sqrt[\frac{\not{n}}{\not{n}}]{a^{\frac{\not{n} \cdot q}{\not{n}}}} \cdot \sqrt[n]{b} $$
In questo modo porto il fattore aq fuori dalla radice
$$ a^q \cdot \sqrt[n]{b} $$
Caso 2
Se m>n con m non multiplo di n, divido m:n=q+r
$$ m:n = q +r $$
Dove q è il quoziente mentre r è il resto della divisione.
Pertanto, l'esponente m posso scriverlo anche in questa forma equivalente
$$ m = n \cdot q + r $$
Poi applico le proprietà delle potenze per scomporre il fattore am=an·q+ar
$$ \sqrt[n]{a^m \cdot b} $$
$$ \sqrt[n]{a^{n \cdot q} \cdot a^r \cdot b} $$
Applico la regola del prodotto tra i radicali
$$ \sqrt[n]{a^{n \cdot q}} \cdot \sqrt[n]{a^r \cdot b} $$
Infine, applico la proprietà invariantiva dei radicali dividendo per n l'indice e l'esponente del radicando del primo radicale
$$ \sqrt[\frac{n}{n}]{a^{\frac{n \cdot q}{n}}} \cdot \sqrt[n]{a^r \cdot b} $$
In questo modo porto il fattore aq fuori dalla radice
$$ a^q \cdot \sqrt[n]{a^r \cdot b} $$
E così via.
