La moltiplicazione fra radicali
Il prodotto tra due radicali con lo stesso indice è un radicale che ha per radicando il prodotto dei radicandi e per indice lo stesso indice. $$ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} $$ Dove a e b sono numeri reali non negativi e n è un numero naturale diverso da zero.
La moltiplicazione fra radicali è possibile solo quando i radicali hanno lo stesso indice.
Quindi, per moltiplicare due radicali con indice diverso devo ridurli entrambi al minimo comune indice.
Un esempio pratico
Esempio 1
Devo moltiplicare due radicali
$$ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{5} $$
Poiché i due radicali hanno lo stesso indice, mi basta moltiplicare i due radicandi e metterli sotto radice mantenendo lo stesso indice
$$ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{4 \cdot 5} = \sqrt[3]{20} $$
Esempio 2
Devo moltiplicare questi due radicali
$$ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt{5} $$
In questo caso i due radicali non hanno lo stesso indice.
Quindi devo prima ridurli al minimo comune indice, ossia calcolare il minimo comune multiplo dei due indici.
$$ mcm(3,2) = 6 $$
Poi applico la proprietà invariantiva dei radicali per ridurli allo stesso indice (6)
$$ \sqrt[3 \cdot 2]{4^2} \cdot \sqrt[2 \cdot 3]{5^3} $$
$$ \sqrt[6]{4^2} \cdot \sqrt[6]{5^3} $$
Infine, applico la regola della moltiplicazione dei radicali che hanno lo stesso indice
$$ \sqrt[6]{4^2 \cdot 5^3} $$
La dimostrazione
Devo dimostrare la regola della moltiplicazione tra due radicali
$$ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} $$
Elevo entrambi i membri dell'uguaglianza per n
$$ ( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} )^n = ( \sqrt[n]{a \cdot b} )^n $$
Poi applico le proprietà delle potenze.
Semplifico l'indice della radice (n) e l'esponente della potenza (n) al secondo membro.
$$ ( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} )^n = ( \sqrt[{ \not{n} }]{a \cdot b} )^{ \not{n} } $$
$$ ( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} )^n = a \cdot b $$
Applico la proprietà delle potenze con uguale esponente (a·b)x=ax·bx al primo membro dell'equazione
$$ ( \sqrt[n]{a} )^n \cdot ( \sqrt[n]{b} )^n = a \cdot b $$
Poi semplifico l'indice delle radici con l'esponente delle potenze.
$$ ( \sqrt[{ \not{n} }]{a} )^{ \not{n} } \cdot ( \sqrt[{ \not{n} }]{b} )^{ \not{n} } = a \cdot b $$
$$ a \cdot b = a \cdot b $$
L'uguaglianza è confermata. Questo dimostra la validità della regola.
E così via.
