La condizione di esistenza dei radicali

solo nei numeri non negativi R⁺+{0} se l'indice della radice è pari $$ \sqrt{x} \ \ \ \ \ C.E. \ \forall \ x \in R^+ + \{0\} $$
sull'insieme dei numeri reali R se l'indice della radice è dispari $$ \sqrt[3]{x} \ \ \ \ \ C.E. \ \forall \ x \in R $$

Pertanto, se l'indice della radice è pari devo aggiungere una condizione di esistenza (C.E.) del radicale

$$ C.E. \ \ \ radicando \ge 0 $$

Viceversa, se l'indice della radice è dispari potrei anche evitare di specificare la condizione di esistenza (C.E.) perché la radice è definita per qualsiasi valore reale dell'incognita x.

$$ C.E. \ \ \ \forall \ x \in R$$

Tuttavia, il mio consiglio è di aggiungere sempre la C.E. In questo modo si evitano fraintendimenti.

Spiegazione. Il radicando non può essere negativo se l'indice della radice è pari perché nessun numero moltiplicato per se stesso un numero pari di volte è negativo. $$ (-2) \cdot (-2) = +4 $$ Quindi il radicale è impossibile $$ \sqrt{-4} = imp $$ Viceversa, il radicando può essere negativo se l'indice della radice è dispari perché un numero negativo moltiplicato per se stesso un numero dispari di volte è ancora un numero negativo. $$ (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 $$ Quindi $$ \sqrt[3]{-8} = -2 $$

Detto più semplicemente la condizione di esistenza cambia a seconda dell'indice di radice.

Un esempio pratico

Considero questo radicando

$$ \sqrt{x-1} $$

E' una radice quadrata. Quindi, l'indice della radice è pari (2).

Devo aggiungere la condizione di esistenza C.E. perché il radicando non può essere negativo.

Il radicando della radice (x-1) deve essere maggiore o uguale a zero.

$$ C.E. \ x-1 \ge 0 $$

Esplicito la variabile indipendente x al primo membro

$$ C.E. \ x-1 +1 \ge 0 +1 $$

$$ C.E. \ x \ge 1 $$

Questa è la condizione di esistenza del radicale.

Esempio. Se è un numero negativo, ad esempio x=-7 $$ \sqrt{x-1} $$ $$ \sqrt{-7-1} $$ $$ \sqrt{-8} = impossibile $$ il radicale non esiste perché non esiste un numero che elevato alla seconda sia a sua volta negativo. Il quadrato di un numero reale è sempre un numero positivo o nullo. $$ (-2) \cdot (-2) = +4 $$

Esempio 2

Considero il radicale

$$ \sqrt[3]{x-1} $$

In questo caso il radicale è dispari.

Quindi non occorre aggiungere la condizione di esistenza perché il radicando può essere anche negativo.

Esempio. Se è un numero negativo, ad esempio x=-7 $$ \sqrt[3]{x-1} $$ $$ \sqrt[3]{-7-1} $$ $$ \sqrt[3]{-8} = -2 $$ il radicale è calcolabile perché esiste un numero reale -2 (radice) che elevato a 3 è uguale è uguale al radicando -8. $$ (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 $$ La radice esiste anche se il radicando è nullo. Ad esempio, se x=1 $$ \sqrt[3]{x-1} = \sqrt[3]{1-1} = \sqrt[3]{0} = 0 $$ la radice è comunque calcolabile perché esiste un numero che elevato a 3 è uguale al radicando 0 $$ 0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0 $$

E così via.