La razionalizzazione di una frazione

La razionalizzazione mi permette di trasformare una frazione con un radicale al denominatore in una frazione equivalente senza il radicale al denominatore, moltiplicando il numeratore e il denominatore per uno stesso numero diverso da zero.

Questo metodo si basa sulla proprietà invariantiva delle frazioni.

Se moltiplico il denominatore e il numeratore per uno stesso fattore k diverso da zero, ottengo una frazione apparente ed equivalente, composta dai multipli del denominatore e del numeratore.

$$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k} $$

Questa tecnica mi è particolarmente utile nello studio dei limiti.

Un esempio pratico

Considero questa frazione

$$ \frac{3}{\sqrt{2}} $$

Al denominatore c'è un radicale.

Per eliminare il radicale al denominatore, applico la proprietà invariantiva e moltiplico il numeratore e il denominatore per la radice di due.

$$ \frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $$

Quest'ultima frazione è equivalente alla precedente perché è come moltiplicarla per 1.

Moltiplico tra loro le due radici quadrate al denominatore.

$$ \frac{3 \cdot \sqrt{2} }{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} $$

I due radicali hanno lo stesso indice, quindi posso moltiplicare i radicandi sotto radice

$$ \frac{3 \cdot \sqrt{2} }{\sqrt{2 \cdot 2}} $$

Questo mi permette di ottenere un radicando con esponente uguale all'indice della radice

$$ \frac{3 \cdot \sqrt{2} }{\sqrt{4}} $$

$$ \frac{3 \cdot \sqrt{2} }{\sqrt{2^2}} $$

In questo modo posso eliminare la radice al denominatore.

$$ \frac{3 \cdot \sqrt{2} }{2} $$

Esempio 2

Considero questa frazione

$$ \frac{3}{\sqrt[3]{2}} $$

In questo caso per razionalizzare il denominatore devo moltiplicare il numeratore e il denominatore per la radice cubica di due alla seconda.

$$ \frac{3}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^2}} $$

Nota. In generale, se la radice non è quadrata devo moltiplicare per un radicale dello stesso ordine (n) con un esponente del radicando che mi consenta di eliminare la radice al denominatore. In questo caso il radicando ottimale è 2^2 perchè moltiplicato con l'altro radicando mi dà come risultato 2*2^2=2^3 ossia un esponente m=3 quale all'indice della radice n=3.

$$ \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2^2} }{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2^2}} $$

I radicali al denominatore hanno lo stesso indice. Quindi, posso moltiplicare i radicandi sotto radice.

$$ \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2^2} }{\sqrt[3]{2 \cdot 2^2}} $$

In questo modo ottengo un radicando con esponente (3) pari all'indice della radice (3) che mi permette di eliminare il radicale al denominatore della frazione.

$$ \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2^2} }{\sqrt[3]{2^3}} $$

$$ \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2^2} }{2} $$

In conclusione, la scelta del fattore moltiplicativo è molto importante per il buon esito della razionalizzazione. Non sempre coincide con il radicale al denominatore.

Esempio 3

Considero questa frazione

$$ \frac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} $$

Per razionalizzare il denominatore moltiplico il numeratore e il denominatore per la differenza dei radicali

$$ \frac{3}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} $$

Nota. Se ci fosse stata una differenza di radicali al denominatore, avrei dovuto moltiplicare per la somma dei radicali.

$$ \frac{3 \cdot (\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{3}-\sqrt{2})} $$

Svolgo i calcoli algebrici al denominatore.

$$ \frac{3 \cdot (\sqrt{3}-\sqrt{2})}{\sqrt{3}\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt{2} + \sqrt{2}\sqrt{3} - \sqrt{2}\sqrt{2}} $$

Due termini al denominatore si annullano reciprocamente

$$ \frac{3 \cdot (\sqrt{3}-\sqrt{2})}{\sqrt{3}\sqrt{3} - \sqrt{2}\sqrt{2}} $$

Moltiplico i radicali al denominatore

$$ \frac{3 \cdot (\sqrt{3}-\sqrt{2})}{\sqrt{3^2} - \sqrt{2^2}} $$

Al denominatore gli esponenti dei radicandi sono uguali all'indice delle radici. Quindi, posso eliminare le radici.

$$ \frac{3 \cdot (\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3 - 2} $$

$$ \frac{3 \cdot (\sqrt{3}-\sqrt{2})}{1} $$

$$ 3 \cdot (\sqrt{3}-\sqrt{2}) $$

E' un'altra tecnica di razionalizzazione delle frazioni

E così via.