Come trasformare un radicale in una potenza con esponente razionale
Una potenza con esponente razionale m/n di un numero reale a≥0 è uguale alla radice ennesima di am $$ a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$
Questo mi permette di applicare le proprietà delle potenze anche nelle espressioni irrazionali.
Spesso, l'uso delle potenze mi semplifica i calcoli.
Nota. Nel caso particolare in cui m<0 devo considerare un radicando positivo a>0. Se a=0 fosse nullo si verificherebbe una divisione per zero ovvero una situazione indeterminata. $$ a^{-m} = \frac{1}{a^m}$$
Un esempio pratico
Considero questa potenza con esponente razionale
$$ 5^{\frac{3}{4}} $$
Posso riscrivere la base della potenza come il radicando di un radicale con indice di radice uguale a 4 ed esponente del radicando uguale a 3
$$ 5^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{5^3} $$
Quest'ultima forma è equivalente alla precedente
Esempio 2
Considero questo radicale
$$ \sqrt[6]{a^3} $$
Si tratta di un radicale semplificabile ma anziché applicare le regole di semplificazione dei radicali, lo trasformo in una potenza con esponente razionale
$$ \sqrt[6]{a^3} = a^{\frac{3}{6}} $$
Semplifico il numeratore e il denominatore della frazione 3/6 nell'esponente
$$ \sqrt[6]{a^3} = a^{\frac{1}{2}} $$
Infine, trasformo nuovamente la potenza in un radicale
$$ \sqrt[6]{a^3} = a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} $$
In questo modo ho semplificato il radicale applicando le proprietà delle potenze.
Nota. Avrei potuto ottenere lo stesso risultato tramite la semplificazione del radicale dividendo l'indice e l'esponente del radicando per il massimo comune divisore. $$ \sqrt[6]{a^3} = \sqrt[\frac{6}{3}]{a^{\frac{6}{3}}} = \sqrt{a}$$ Il risultato è lo stesso.
Esempio 3
Considero questa somma di radicali
$$ 2\sqrt[4]{a^3} + 3 \sqrt[4]{a^3} $$
Trasformo i radicali nella forma di potenze con esponente razionale
$$ 2 a^{\frac{3}{4}} + 3 a^{\frac{3}{4}} $$
Poi metto in evidenza la potenza e sommo i coefficienti
$$ (2+3) \cdot a^{\frac{3}{4}} $$
$$ 5 a^{\frac{3}{4}} $$
Infine trasformo la potenza con esponente razionale in un radicale
$$ 5 a^{\frac{3}{4}} = 5 \sqrt[4]{a^3} $$
Il risultato è lo stesso che avrei ottenuto sommando i radicali.
Verifica. I radicali hanno lo stesso indice e lo stesso radicando. Quindi posso sommare i coefficienti dei radicali. $$ 2\sqrt[4]{a^3} + 3 \sqrt[4]{a^3} = (2+3) \cdot \sqrt[4]{a^3} = 5 \sqrt[4]{a^3} $$ Il risultato è lo stesso.
E così via.
