La potenza di un radicale

La potenza m-esima di un radicale è un radicale che ha lo stesso indice e il radicando elevato alla potenza m-esima. $$ (\sqrt[n]{a} )^m = \sqrt[n]{a^m} $$ Dove n e m sono numeri naturali diversi da zero e il radicando a=>0 è un numero reale non negativo.

Un esempio pratico

Considero il radicale

$$ ( \sqrt[3]{2^2} )^4 $$

Elevo alla quarta il radicando

$$ \sqrt[3]{(2^2)^4} $$

Poi applico le proprietà delle potenze

$$ \sqrt[3]{2^{2 \cdot 4}} $$

In questo modo ottengo un radicale equivalente al radicale iniziale

$$ \sqrt[3]{2^8} $$

La dimostrazione

Considero la formula

$$ (\sqrt[n]{a} )^m = \sqrt[n]{a^m} $$

Applico la proprietà invariantiva delle equazioni elevando entrambi i membri alla potenza n-esima

$$ [ (\sqrt[n]{a} )^m ]^n = [ \sqrt[n]{a^m} ]^n $$

Semplifico il secondo membro dell'equazione

$$ [ (\sqrt[n]{a} )^m ]^n = [ \sqrt[\not{n}]{a^m} ]^{\not{n}} $$

$$ [ (\sqrt[n]{a} )^m ]^n = a^m $$

Applico le proprietà della potenza al primo membro dell'equazione

$$ (\sqrt[n]{a} )^{m \cdot n} = a^m $$

Poi semplifico il radicale dividendo per n l'indice della radice e l'esponente del radicando

$$ (\sqrt[\frac{n}{n}]{a} )^{\frac{m \cdot n}{n}} = a^m $$

$$ a^m = a^m $$

Questo dimostra che entrambi i membri dell'equazione iniziale sono uguali.

La formula della potenza di un radicale è dimostrata.

E così via.