La divisione tra radicali

Il quoziente di due radicali con lo stesso indice è un radicale che ha per radicando il quoziente dei radicandi e per indice lo stesso indice. $$ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } $$ Dove a≥0 e b>0 sono due numeri reali con b≠0 diverso da zero, mentre l'indice n>0 è un numero naturale diverso da zero.

Per calcolare la divisione tra due radicali con indice diverso, occorre prima ridurli allo stesso indice tramite il minimo comune indice.

Un esempio pratico

Esempio 1

Devo dividere questi due radicali

$$ \frac{ \sqrt[3]{20} }{ \sqrt[3]{4} } $$

I due radicali hanno lo stesso indice, quindi posso dividere i due radicandi sotto un'unica radice con lo stesso indice

$$ \frac{ \sqrt[3]{20} }{ \sqrt[3]{4} } = \sqrt[3]{ \frac{20}{4} } = \sqrt[3]{5} $$

Esempio 2

Devo dividere questi altri due radicali

$$ \frac{ \sqrt[3]{4} }{ \sqrt{5} } $$

I due radicali non hanno lo stesso indice.

In questo caso devo ridurre i radicali al minimo comune indice. In pratica, devo calcolare il minimo comune multiplo dei due indici.

$$ mcm(3,2) = 6 $$

Una volta ottenuto il minimo comune indice, applico la proprietà invariantiva dei radicali per ridurre i due radicali all'indice 6

Moltiplico per due l'indice e l'esponente del radicando del primo radicale

$$ \frac{ \sqrt[3 \cdot \color{red}2]{4^{1 \cdot \color{red}2}} }{ \sqrt[2]{5} } $$

$$ \frac{ \sqrt[6]{4^2} }{ \sqrt[2]{5} } $$

Poi moltiplico per tre l'indice e l'esponente del radicando del secondo radicale

$$ \frac{ \sqrt[6]{4^2} }{ \sqrt[2 \cdot \color{red}3]{5^{1 \cdot \color{red}3}} } $$

$$ \frac{ \sqrt[6]{4^2} }{ \sqrt[6]{5^3} } $$

Ora i due radicali hanno lo stesso indice (6).

Quindi, posso applicare la regola della divisione dei radicali con lo stesso indice.

$$ \frac{ \sqrt[6]{4^2} }{ \sqrt[6]{5^3} } = \sqrt[6]{ \frac{4^2}{5^3} } $$

Il risultato è il quoziente dei due radicali.

La dimostrazione

Devo dimostrare la regola della divisione tra due radicali

$$ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } $$

Elevo entrambi i membri dell'equazione per n

$$ ( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} )^n = ( \sqrt[n]{ \frac{a}{b} } )^n $$

Semplifico l'indice della radice e l'esponente della potenza (n) al secondo membro dell'equazione

$$ ( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} )^n = ( \sqrt[{ \not{n} }]{ \frac{a}{b} } )^{ \not{n} } $$

$$ ( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} )^n = \frac{a}{b} $$

Applico le proprietà delle potenze con uguale esponente (a/b)x=ax/bx al primo membro dell'equazione

$$ \frac{( \sqrt[n]{a} )^n}{( \sqrt[n]{b} )^n} = \frac{a}{b} $$

Poi semplifico gli indici e gli esponenti delle potenze tra loro

$$ \frac{( \sqrt[ \not{n} ]{a} )^{ \not{n} } }{( \sqrt[\not{n}]{b} )^{ \not{n} }} = \frac{a}{b} $$

$$ \frac{ a }{b} = \frac{a}{b} $$

L'uguaglianza è confermata. Questo dimostra la validità della regola della divisione tra radicali.

Nota. Per dimostrare la regola della divisione tra radicali posso seguire anche una strada diversa. Riscrivo la divisione dei radicali sotto la forma equivalente di prodotto. $$ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{a} \cdot \frac{1}{ \sqrt[n]{b} } $$ Poi riprendo tale e quale la dimostrazione della regola del prodotto di due radicali.

E così via.

 


 

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