Addizione e sottrazione di radicali

Due o più radicali si possono sommare o sottrarre soltanto quando sono radicali simili, ossia se hanno lo stesso indice di radice e lo stesso radicando. $$ a \sqrt[n]{r} + b \sqrt[n]{r} = (a+b) \sqrt[n]{r} $$ $$ a \sqrt[n]{r} - b \sqrt[n]{r} = (a-b) \sqrt[n]{r} $$

La somma algebrica di due radicali simili è un radicale che ha per coefficiente la somma algebrica dei coefficienti a e b

$$ a \sqrt[n]{r} + b \sqrt[n]{r} = (a+b) \sqrt[n]{r} $$

Esempio. Considero la somma di due radicali simili. $$ 2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} $$ Metto in evidenza il radicale per sommare i coefficienti. $$ (2+3) \sqrt{2} =5 \sqrt{2} $$

In generale, se l'indice di radice è lo stesso ma il radicando è diverso, la somma dei radicali non è uguale alla radice della somma dei radicandi.

$$ \sqrt[n]{p} + \sqrt[n]{q} \ne \sqrt[n]{p+q} $$

Lo stesso vale per la sottrazione

$$ \sqrt[n]{p} - \sqrt[n]{q} \ne \sqrt[n]{p-q} $$

Dimostrazione. Considero due radicali con lo stesso indice e diverso radicando. Verifico se la somma dei radicali è uguale alla radice della somma dei radicandi. $$ \sqrt{9}+\sqrt{16} = \sqrt{9+16} $$ Svolgo i calcoli $$ \sqrt{3^2}+\sqrt{4^2} = \sqrt{25} $$ $$ 3+4 = \sqrt{5^2} $$ $$ 7 = 5 $$ Le due espressioni hanno valore diverso. Pertanto, in generale la somma dei radicali e il radicale della somma dei radicandi non sono uguali. Ciò non esclude che in casi eccezionali potrebbero anche esserlo ma in generale la regola non è applicabile.

Un esempio pratico

Considero due radicali simili

$$ 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} $$

Essendo radicali simili possono sommare i coefficienti (fattori) dei radicali

$$ (2+3) \sqrt{3} $$

$$ 5 \sqrt{3} $$

Verifica. Verifico l'uguaglianza delle espressioni. $$ 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} = 5 \sqrt{3} $$ Approssimativamente la radice quadrata di 3 è 1.73 $$ \sqrt{3}=1.73 $$ Sostituisco il valore approssimato alla radice di 3 $$ 2 \cdot 1.73 + 3 \cdot 1.73 = 5 \cdot 1.73 $$ $$ 3.46 + 5.19 = 8.65 $$ $$ 8.65 = 8.65 $$ Le due espressioni hanno lo stesso risultato. Pertanto, l'uguaglianza è soddisfatta.

E così via.