La proprietà invariantiva dei radicali
Il risultato di un radicale non cambia quando moltiplico o divido per uno stesso numero naturale p diverso da zero sia l'indice della radice che l'esponente del radicando. $$ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p }} = \sqrt[ \frac{n}{p} ]{a^{ \frac{n}{p} }} $$
Il radicale che ottengo dalla moltiplicazione (o divisione) è un radicale equivalente perché, il risultato dei due radicali è lo stesso.
Un esempio pratico
Considero la radice cubica di 8
$$ \sqrt[3]{8} = 2 $$
Sapendo che 8=23 riscrivo il radicando in questa forma
$$ \sqrt[3]{2^3} = 2 $$
Ora moltiplico per p=2 l'indice della radice e l'esponente del radicale.
$$ \sqrt[3 \cdot 2 ]{2^{3 \cdot 2}} $$
$$ \sqrt[6]{2^{6}} $$
La radice ottenuta è equivalente perché il risultato finale è sempre lo stesso.
$$ \sqrt[6]{2^{6}} = 2 $$
Nota. Se ora divido per due l'indice della radice e l'esponente del radicando ritorno al radicale iniziale. $$ \sqrt[\frac{6}{2}]{2^{\frac{6}{2}}} = 2 $$ $$ \sqrt[3]{2^{3}} = 2 $$
La dimostrazione
Considero vera l'uguaglianza tra questi due radicali
$$ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}} $$
Elevo entrambi i membri dell'equazione per il numero n·p
$$ ( \sqrt[n]{a^m} )^{n \cdot p} = ( \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}} )^{n \cdot p} $$
Al secondo membro si semplifica il radicale
$$ ( \sqrt[n]{a^m} )^{n \cdot p} = a^{m \cdot p} $$
Applico la proprietà delle potenze xn·p=(xn)m al primo membro dell'equazione
$$ [ ( \sqrt[n]{a^m} )^n ]^p = a^{m \cdot p} $$
Semplifico il radicale
$$ [ a^m ]^p = a^{m \cdot p} $$
Poi applico nuovamente la proprietà delle potenze xn·p=(xn)m
$$ a^{m \cdot p} = a^{m \cdot p} $$
L'uguaglianza è soddisfatta.
Pertanto, i due radicali iniziali sono radicali equivalenti.
$$ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}} $$
Il caso dei radicali con radicando negativo
La proprietà invariantiva non posso applicarla se il radicale ha un radicando negativo.
Esempio
I radicali con indice dispari ammettono i radicandi negativi.
$$ \sqrt[3]{-8} = -2 \ \Longrightarrow \ (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 $$
Applico la proprietà invariantiva moltiplicando l'indice e l'esponente del radicando per due.
$$ \sqrt[3 \cdot 2]{(-8)^{1 \cdot 2}} $$
$$ \sqrt[6]{(-8)^2} $$
$$ \sqrt[6]{64} = 2 $$
Dopo aver applicato la proprietà invariantiva il radicale è uguale a 2 ma 23=8, non è -8.
Pertanto, se il radicando è negativo la proprietà invariantiva dei radicali non può essere applicata.
Nota. Tuttavia, se e solo se l'indice n del radicali è dispari posso scomporre il radicando in un prodotto tra -1 e un numero reale positivo. $$ \sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{-1 \cdot 8} $$ Questo mi permette di far uscire il fattore -1 dalla radice perché (-1)^3=-1 $$ \sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{-1 \cdot 8} = -1 \cdot \sqrt[3]{8} $$ Ora la proprietà invariantiva posso applicarla perché il radicando è positivo. Ad esempio, moltiplico l'indice e l'esponente del radicando per due. $$ \sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{-1 \cdot 8} = -1 \cdot \sqrt[3]{8} = -1 \cdot \sqrt[3 \cdot 2]{8^2} = - \sqrt[6]{64} = -8 $$ Il risultato è corretto.
E così via.
