Le approssimazioni dei radicali
L'approssimazione di un numero irrazionale tramite un numero reale è soggetta a un margine di errore che si propaga in avanti nei calcoli, rendendo poco attendibile il risultato finale.
Per questa ragione è preferibile definire apposite operazioni tra radicali ed evitare di approssimare un numero irrazionale con un numero reale.
Un esempio pratico
Considero due numeri irrazionali sotto forma di radicali.
$$ \sqrt{29} $$
$$ \sqrt{87} $$
Per ciascuno calcolo l'approssimazione con i numeri reali a due cifre per difetto e per eccesso con un margine di incertezza di 0.01 sull'ultima cifra.
$$ 5.38 < \sqrt{29} < 5.39 $$
$$ 9.32 < \sqrt{87} < 9.33 $$
Nota. In genere le approssimazioni per difetto, quelle a sinistra, sono preferibili perché mantengono le stesse due cifre decimali anche nelle approssimazioni con più di due cifre decimali. Tuttavia, la scelta dell'approssimazione per difetto non elimina il problema della propagazione in avanti dell'errore.
Moltiplico membro a membro le due disequazioni
$$ 5.38 \cdot 9.32 < \sqrt{29} \cdot \sqrt{87} < 5.39 \cdot 9.33 $$
Il risultato finale è compreso tra 50.1416 e 50.2887
$$ 50.1416 < \sqrt{29} \cdot \sqrt{87} < 50.2887 $$
Malgrado il prodotto sia caratterizzato da quattro cifre decimali, anziché due, è tutt'altro che preciso.
Dopo l'operazione di moltiplicazione il margine di incertezza è 0.1471. E' molto più grande di 0.01.
$$ 50.2887 - 50.1416 = 0.1471 $$
Quindi, il prodotto ha un'incertezza maggiore rispetto ai suoi fattori.
Il margine di incertezza è destinato a propagarsi ulteriormente se continuassi a svolgere i calcoli con altre operazioni.
Pertanto, nel corso dei calcoli il risultato perde di attendibilità.
Nota. La propagazione dell'incertezza causata dall'approssimazione reale dei numeri irrazionali non è uguale in ogni operazione matematica. E' più alto nella moltiplicazione e nella divisione, più basso nell'addizione e nella sottrazione. Ad esempio, se sommo i radicali precedenti $$ 5.38 + 9.32 \cdot < \sqrt{29} + \sqrt{87} < 5.39 + 9.33 $$ $$ 14.7 < \sqrt{29} + \sqrt{87} < 14.72 $$ il margine di incertezza tra le approssimazioni per difetto e per eccesso passa da 0.01 a 0.02. E' quindi molto più basso rispetto alla moltiplicazione (0.1471)
Per questo motivo è meglio svolgere i calcoli tra i radicali usando le operazioni tra radicali senza approssimarli con i numeri reali.
$$ \sqrt{29} \cdot \sqrt{87} = \sqrt{29 \cdot 87} = \sqrt{2523} $$
In questo modo si evita la propagazione in avanti dell'errore.
Nota. Il discorso è limitato alle approssimazioni dei soli numeri irrazionali. Non tutti i radicali sono numeri irrazionali. Ad esempio $$ \sqrt{29} \cdot \sqrt{81} = \sqrt{29} \cdot \sqrt{ 9^2 } = \sqrt{29} \cdot 9 $$
E così via.
