Come trasportare un fattore dentro la radice
Per spostare un fattore non negativo nel radicale moltiplico l'esponente del fattore (m) per l'indice della radice (n). $$ a^m \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ a^{m \cdot n} \cdot b } $$ Dove a≥0 e b≥0
I fattori negativi non si portano dentro il radicale.
In questi casi, si lascia il segno meno fuori dal radicale e si trasporta dentro il valore assoluto del fattore elevato all'indice della radice.
Un esempio pratico
Considero un radicale
$$ a^2 \cdot \sqrt[3]{b^2} $$
Per spostare il fattore a2 nel radicale moltiplico l'esponente (2) per l'indice della radice (3) ossia 2·3=6.
$$ \sqrt[3]{ a^{2 \cdot 3} \cdot b^2} $$
$$ \sqrt[3]{ a^6 \cdot b^2} $$
Esempio 2
Considero un radicale
$$ 2 \cdot \sqrt[3]{a^2} $$
Per spostare 2 nel radicando della radice moltiplico l'esponente (1) del fattore per l'indice della radice (3).
$$ \sqrt[3]{2^{1 \cdot 3} \cdot a^2} $$
$$ \sqrt[3]{2^3 \cdot a^2} $$
$$ \sqrt[3]{8 \cdot a^2} $$
Esempio 3
Considero un radicale
$$ -2 \cdot \sqrt[3]{a^2} $$
In questo caso il fattore esterno è negativo.
Lascio fuori il segno meno ed elevo il valore assoluto del fattore per l'indice della radice (3)
$$ - \sqrt[3]{2^{1 \cdot 3} \cdot a^2} $$
$$ - \sqrt[3]{2^3 \cdot a^2} $$
$$ - \sqrt[3]{8 \cdot a^2} $$
La dimostrazione
Considero un radicale
$$ a^m \cdot \sqrt[n]{b} $$
Il fattore esterno am è non negativo (a>0) e moltiplica il radicale
Posso considerare il fattore come il radicando di una radice con indice 1.
$$ \sqrt[1]{ a^m } \cdot \sqrt[n]{b} $$
Nota. La radice con indice 1 di un numero n è il numero stesso elevato a 1 ossia n1=n. $$ \sqrt[1]{n} = n \Longleftrightarrow n^1 = n $$ In molti testi di matematica la radice con indice uno è omessa perché inutile. Tuttavia, in questa dimostrazione credo sia utile per semplificare la spiegazione.
Per la proprietà invariantiva dei radicali moltiplico l'indice della radice (1) e l'esponente del radicando (m) per n
$$ \sqrt[1 \cdot n ]{ a^{m \cdot n} } \cdot \sqrt[n]{b} $$
$$ \sqrt[ n ]{ a^{m \cdot n} } \cdot \sqrt[n]{b} $$
I due radicali hanno lo stesso indice, quindi posso applicare la regola del prodotto tra radicali
$$ \sqrt[n]{a^{m \cdot n} \cdot b} $$
E così via.
