Valore assoluto

Cos'è il valore assoluto

Il valore assoluto (o modulo) di un numero reale è uguale al numero stesso se il numero è positivo o nullo, è uguale all'opposto del numero se il numero è negativo. |x|={xsex0xsex<0 Il simbolo del valore assoluto sono due barre verticali intorno all'argomento.

L'argomento della funzione valore assoluto può essere un numero, una variabile, un'espressione o una funzione.

Se l'argomento è un numero, il modulo è il numero con segno positivo o nullo.

|3|=3|7|=7|2.5|=2.5

Nota. Due numeri opposti hanno sempre lo stesso valore assoluto. Ad esempio. |5|=5|5|=5

Se l'argomento è una variabile o una funzione bisogna considerare due casi possibili

|x|={xsex0xsex<0

|f(x)|={f(x)sef(x)0f(x)sex<0

In questi casi il simbolo della parentesi graffa { non è un sistema di equazione bensì un modo per indicare i due casi necessari per calcolare il valore assoluto.

Un esempio pratico

Esempio 1

Nell'insieme dei numeri interi Z, prendo come esempio il numero x=7

x=7

Il numero 7 è positivo.

Quindi, il valore assoluto |x| è

|x|=x=7

Il valore assoluto è 7.

Esempio 2

Ora considero l'intero x=-7.

x=7

Il numero -7 è negativo.

Pertanto, il valore assoluto |x| è

|x|=x=(7)=7

Il valore assoluto è 7.

Le proprietà del valore assoluto

Nel calcolo algebrico valgono le seguenti proprietà del valore assoluto

|x|0xR

|x|=0x=0

|x|=|x|    xR

|xy|=|x||y|    x,yR

|xy|=|x||y|    x,yR

|x|zzxz    x,zR

Dimostrazione
A seconda del valore di x posso riscrivere la diseguaglianza |x|≤z con due sistemi di disequazioni
la dimostrazione

|x|zx2z2    x,zR

Dimostrazione
Qualsiasi numero elevato al quadrato è un numero non negativo. Dopo aver elevato al quadrato l'argomento del valore assoluto, l'argomento del modulo è un numero positivo o nullo. Se elevo al quadrato entrambe le variabili ottengo |x2|=x2 e z2. Non essendo cambiato il segno, la relazione d'ordine resta la stessa.

|x|=|y|x=±y

|x|<zz<x<z

x2=|x|    xR

La diseguaglianza triangolare

Questa proprietà è particolarmente importante perché ricorre spesso nella dimostrazione dei teoremi

|x1+x2||x1|+|x2|

Dimostrazione
Due numeri reali qualsiasi x1 e x2 valgono le seguenti diseguaglianze |x1|x1|x1| |x2|x2|x2| Sommo membro a membro le diseguaglianze (|x1|+|x2|)x1+x2|x1|+|x2| ponendo z=|x1|+|x2| zx1+x2z questo mi permette di usare la regola seguente, ponendo x = x1+x2 |x|zzxz |x1+x2|zz|x1+x2|z sapendo che z=|x1|+|x2| |x1+x2|z |x1+x2||x1|+|x2| La regola della diseguaglianza triangolare è dimostrata.

E così via.

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