Valore assoluto
Cos'è il valore assoluto
Il valore assoluto (o modulo) di un numero reale è uguale al numero stesso se il numero è positivo o nullo, è uguale all'opposto del numero se il numero è negativo. Il simbolo del valore assoluto sono due barre verticali intorno all'argomento.
L'argomento della funzione valore assoluto può essere un numero, una variabile, un'espressione o una funzione.
Se l'argomento è un numero, il modulo è il numero con segno positivo o nullo.
Nota. Due numeri opposti hanno sempre lo stesso valore assoluto. Ad esempio.
Se l'argomento è una variabile o una funzione bisogna considerare due casi possibili
In questi casi il simbolo della parentesi graffa { non è un sistema di equazione bensì un modo per indicare i due casi necessari per calcolare il valore assoluto.
Un esempio pratico
Esempio 1
Nell'insieme dei numeri interi Z, prendo come esempio il numero x=7
Il numero 7 è positivo.
Quindi, il valore assoluto |x| è
Il valore assoluto è 7.
Esempio 2
Ora considero l'intero x=-7.
Il numero -7 è negativo.
Pertanto, il valore assoluto |x| è
Il valore assoluto è 7.
Le proprietà del valore assoluto
Nel calcolo algebrico valgono le seguenti proprietà del valore assoluto
Dimostrazione
A seconda del valore di x posso riscrivere la diseguaglianza |x|≤z con due sistemi di disequazioni
Dimostrazione
Qualsiasi numero elevato al quadrato è un numero non negativo. Dopo aver elevato al quadrato l'argomento del valore assoluto, l'argomento del modulo è un numero positivo o nullo. Se elevo al quadrato entrambe le variabili ottengo |x2|=x2 e z2. Non essendo cambiato il segno, la relazione d'ordine resta la stessa.
La diseguaglianza triangolare
Questa proprietà è particolarmente importante perché ricorre spesso nella dimostrazione dei teoremi
Dimostrazione
Due numeri reali qualsiasi x1 e x2 valgono le seguenti diseguaglianze Sommo membro a membro le diseguaglianze ponendo z=|x1|+|x2| questo mi permette di usare la regola seguente, ponendo x = x1+x2 sapendo che z=|x1|+|x2| La regola della diseguaglianza triangolare è dimostrata.
E così via.