Valore assoluto

Cos'è il valore assoluto

Il valore assoluto (o modulo) di un numero reale è uguale al numero stesso se il numero è positivo o nullo, è uguale all'opposto del numero se il numero è negativo. $$|x| = \begin{cases} x \:\:\: se \:\: x \ge 0 \\ \\ -x \:\:\: se \:\: x < 0 \end{cases}$$ Il simbolo del valore assoluto sono due barre verticali intorno all'argomento.

L'argomento della funzione valore assoluto può essere un numero, una variabile, un'espressione o una funzione.

Se l'argomento è un numero, il modulo è il numero con segno positivo o nullo.

$$| -3 | = 3 \\ |7| = 7 \\ |-2.5| = 2.5 \vdots$$

Nota. Due numeri opposti hanno sempre lo stesso valore assoluto. Ad esempio. $$| 5 | = 5 \\ |-5| = 5$$

Se l'argomento è una variabile o una funzione bisogna considerare due casi possibili

$$|x| = \begin{cases} x \:\:\: se \:\: x \ge 0 \\ \\ -x \:\:\: se \:\: x < 0 \end{cases}$$

$$|f(x)| = \begin{cases} f(x) \:\:\: se \:\: f(x) \ge 0 \\ \\ -f(x) \:\:\: se \:\: x < 0 \end{cases}$$

In questi casi il simbolo della parentesi graffa { non è un sistema di equazione bensì un modo per indicare i due casi necessari per calcolare il valore assoluto.

Un esempio pratico

Esempio 1

Nell'insieme dei numeri interi Z, prendo come esempio il numero x=7

$$x=7$$

Il numero 7 è positivo.

Quindi, il valore assoluto |x| è

$$|x|=x=7$$

Il valore assoluto è 7.

Esempio 2

Ora considero l'intero x=-7.

$$x=-7$$

Il numero -7 è negativo.

Pertanto, il valore assoluto |x| è

$$|x|=-x=-(-7)=7$$

Il valore assoluto è 7.

Le proprietà del valore assoluto

Nel calcolo algebrico valgono le seguenti proprietà del valore assoluto

$$|x| \ge 0 \:\: \forall x \in R$$

$$|x| = 0 \Leftrightarrow x=0$$

$$|-x| = |x| \ \ \ \ \forall x \in R$$

$$|x \cdot y| = |x| \cdot |y| \ \ \ \ \forall x,y \in R$$

$$| \frac{x}{y} | = \frac{|x|}{|y|} \ \ \ \ \forall x,y \in R$$

$$|x| \le z \Leftrightarrow -z \le x \le z \ \ \ \ \forall x,z \in R$$

Dimostrazione
A seconda del valore di x posso riscrivere la diseguaglianza |x|≤z con due sistemi di disequazioni

$$|x| \le z \Leftrightarrow x^2 \le z^2 \ \ \ \ \forall x,z \in R$$

Dimostrazione
Qualsiasi numero elevato al quadrato è un numero non negativo. Dopo aver elevato al quadrato l'argomento del valore assoluto, l'argomento del modulo è un numero positivo o nullo. Se elevo al quadrato entrambe le variabili ottengo |x²|=x² e z². Non essendo cambiato il segno, la relazione d'ordine resta la stessa.

$$|x| = |y| \Leftrightarrow x = \pm y$$

$$|x| < z \Leftrightarrow -z < x < z$$

$$\sqrt{x^2} = |x| \ \ \ \ \forall x \in R$$

La diseguaglianza triangolare

Questa proprietà è particolarmente importante perché ricorre spesso nella dimostrazione dei teoremi

$$|x_1+x_2| \le |x_1| + |x_2|$$

Dimostrazione
Due numeri reali qualsiasi x₁ e x₂ valgono le seguenti diseguaglianze $$-|x_1| \le x_1 \le |x_1|$$ $$-|x_2| \le x_2 \le |x_2|$$ Sommo membro a membro le diseguaglianze $$-(|x_1|+|x_2|) \le x_1+x_2 \le |x_1|+|x_2|$$ ponendo z=|x₁|+|x₂| $$-z \le x_1+x_2 \le z$$ questo mi permette di usare la regola seguente, ponendo x = x₁+x₂ $$|x| \le z \Leftrightarrow -z \le x \le z$$ $$|x_1+x_2| \le z \Leftrightarrow -z \le |x_1+x_2| \le z$$ sapendo che z=|x₁|+|x₂| $$|x_1+x_2| \le z$$ $$|x_1+x_2| \le |x_1|+|x_2|$$ La regola della diseguaglianza triangolare è dimostrata.

E così via.