Radicali irriducibili

Un radicale è irriducibile quando l'indice della radice (n) e l'esponente del radicando (m) non hanno un divisore comune ossia sono primi tra loro (coprimi) $$ \sqrt[n]{a^m} $$

Sono detti "irriducibili" perché non posso semplificarli in un radicale equivalente con indice della radice più basso.

Un esempio pratico

Questo radicale è irriducibile perché l'indice della radice n=3 e l'esponente del radicando m=2 non hanno divisori in comune.

$$ \sqrt[3]{a^2} $$

I numeri 2 e 3 sono numeri primi tra loro.

Nota. Essere numeri primi tra loro (coprimi) non vuol dire essere "numeri primi". I numeri primi tra loro non hanno divisori in comune e non è detto che siano sempre numeri primi. Ad esempio, i numeri 15 e 8 sono primi tra loro ma non sono numeri primi.

Esempio 2

Questo radicale non è irriducibile perché l'indice della radice n=6 e l'esponente del radicando m=4 sono divisibili per k=2

$$ \sqrt[6]{a^4} $$

In questo caso, posso semplificare il radicale dividendo l'indice della radice e l'esponente del radicando per k=2.

$$ \sqrt[\frac{6}{2}]{a^{\frac{4}{2}}} $$

$$ \sqrt[3]{a^2} $$

Il risultato finale è un radicale equivalente al precedente.

Nota. In questo caso il risultato finale è anche un radicale irriducibile perché k=2 è il massimo comune divisore di n=6 e m=4.

E così via.