Come semplificare i radicali
Per semplificare un radicale si divide l'indice della radice (n) e l'esponente del radicando (m) per un divisore comune (k). $$ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[\frac{n}{k}]{a^{\frac{m}{k}}} $$
Il risultato della semplificazione è un risultato equivalente con indice della radice più basso.
Quindi, per ottenere un radicale irriducibile basta dividere l'indice e l'esponente del radicando per il massimo comune divisore.
$$ k=MCD(n,m) $$
Nota. Un radicale è detto irriducibile quando l'indice e l'esponente non hanno divisori in comune, ossia sono primi tra loro (o coprimi). Viceversa, è detto riducibile se hanno divisori in comune.
Un esempio pratico
Devo semplificare il radicale
$$ \sqrt[6]{a^4} $$
Il massimo comune divisore tra l'indice della radice n=6 e l'esponente del radicando m=4 è il divisore k=2
$$ MCD(6,4)=2 $$
Per semplificare il radicale divido l'indice e l'esponente per k=2.
$$ \sqrt[\frac{6}{2}]{a^{\frac{4}{2}}} $$
$$ \sqrt[3]{a^2} $$
Il risultato finale è un radicale equivalente al precedente ma più semplice e irriducibile.
Nota. Il radicale è irriducibile perché l'indice n=3 e l'esponente m=2 non hanno più divisori in comune maggiori di uno.
La dimostrazione
La semplificazione dell'indice del radicale con l'esponente del radicando si basa sulla proprietà invariantiva dei radicali.
$$ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n \cdot p]{a^{m \cdot p}} = \sqrt[n : p]{a^{m : p}} $$
Quando moltiplico o divido l'indice della radice e l'esponente del radicando per uno stesso numero naturale diverso da zero ottengo un radicale equivalente.
Un radicale equivalente ha la stessa soluzione (radice) del radicale iniziale.
La semplificazione con il valore assoluto
Se il radicando è un numero negativo (a<0) elevato con esponente pari (m=pari), posso sostituirlo con il suo valore assoluto. $$ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n]{|a|^m} $$
Esempio
Devo risolvere il radicale
$$ \sqrt[4]{(-3)^2} $$
Se semplificassi l'indice e l'esponente del radicale cadrei in una forma non calcolabile
$$ \sqrt[4]{(-3)^2} = \sqrt[2]{-3} = impossibile $$
Posso però seguire un'altra strada
Sapendo che qualsiasi numero negativo elevato al quadrato è un numero positivo
$$ (-3)^2 = (+3)^2 = | -3 |^2 $$
posso sostituire (-3)2 con il suo valore assoluto |-3|2
$$ \sqrt[4]{(-3)^2} $$
$$ \sqrt[4]{|-3|^2} $$
Poi semplifico
$$ \sqrt{|-3|} $$
Sapendo che il valore assoluto è |-3|=3
$$ \sqrt{3} $$
Esempio 2
Devo risolvere il radicale
$$ \sqrt{(a-5)^2} $$
Nota. Se semplificassi l'indice della radice con l'esponente cadrei in errore $$ \sqrt{(a-5)^2} = a-5 $$ perché l'espressione a-5 ammette anche valori negativi ma nessuna radice con indice pari è definita nell'insieme dei numeri reali negativi. Pertanto, il risultato è sbagliato.
Per risolvere il radicale devo ragionare in modo diverso.
L'espressione (a-5)2 è sempre non negativa perché l'esponente del radicando è pari.
Sostituisco l'espressione con il suo valore assoluto |a-5|2
$$ \sqrt{|a-5|^2} $$
Poi semplifico l'indice della radice con l'esponente del radicando
$$ \sqrt{|a-5|^2} = | a-5| $$
Pertanto, il risultato del radicale è il valore assoluto |a-5|
$$ \sqrt{(a-5)^2} = |a-5| $$
Nota. Poiché l'espressione |a-5| è sotto modulo, è nulla o positiva (non negativa). Pertanto è una soluzione ammissibile per un radicale con indice pari. Il risultato è corretto.
E così via.
