Come confrontare due radicali

Per confrontare due o più radicali devo ridurli allo stesso indice e confrontare i radicandi.

Un esempio pratico

Considero due radicali

$$ \sqrt[6]{5} $$

$$ \sqrt[4]{3} $$

Per capire qual è il radicale maggiore devo ridurre entrambi i radicali allo stesso indice.

Il minimo comune indice dei radicali è 12

Applico la proprietà invariantiva dei radicali, moltiplico l'indice e l'esponente del primo radicale per due.

Poi moltiplico l'indice e l'esponente del secondo radicale per tre.

$$ \sqrt[6]{5} = \sqrt[6 \cdot 2]{(5)^2} = \sqrt[12]{5^2} $$

$$ \sqrt[4]{3} = \sqrt[4 \cdot 3]{(3)^3} = \sqrt[12]{3^3} $$

Ora i due radicali hanno lo stesso indice.

$$ \sqrt[12]{5^2} $$

$$ \sqrt[12]{3^3} $$

Calcolo le potenze

$$ \sqrt[12]{25} $$

$$ \sqrt[12]{27} $$

Il secondo radicale ha il radicando maggiore.

$$ 25 < 27 $$

Pertanto, il secondo radicale è maggiore del primo.

$$ \sqrt[12]{25} < \sqrt[12]{27} $$

Verifica. Per verificare il risultato basta elevare entrambi i radicali alla dodicesima. $$ ( \sqrt[12]{25} )^{12} = 25 $$ $$ ( \sqrt[12]{27} )^{12} =27 $$ In questo modo elimino la radice. Essendo 27 maggiore di 25, deduco che il secondo radicale è maggiore del primo.

E così via.