Come confrontare due radicali
Per confrontare due o più radicali devo ridurli allo stesso indice e confrontare i radicandi.
Un esempio pratico
Considero due radicali
$$ \sqrt[6]{5} $$
$$ \sqrt[4]{3} $$
Per capire qual è il radicale maggiore devo ridurre entrambi i radicali allo stesso indice.
Il minimo comune indice dei radicali è 12
Applico la proprietà invariantiva dei radicali, moltiplico l'indice e l'esponente del primo radicale per due.
Poi moltiplico l'indice e l'esponente del secondo radicale per tre.
$$ \sqrt[6]{5} = \sqrt[6 \cdot 2]{(5)^2} = \sqrt[12]{5^2} $$
$$ \sqrt[4]{3} = \sqrt[4 \cdot 3]{(3)^3} = \sqrt[12]{3^3} $$
Ora i due radicali hanno lo stesso indice.
$$ \sqrt[12]{5^2} $$
$$ \sqrt[12]{3^3} $$
Calcolo le potenze
$$ \sqrt[12]{25} $$
$$ \sqrt[12]{27} $$
Il secondo radicale ha il radicando maggiore.
$$ 25 < 27 $$
Pertanto, il secondo radicale è maggiore del primo.
$$ \sqrt[12]{25} < \sqrt[12]{27} $$
Verifica. Per verificare il risultato basta elevare entrambi i radicali alla dodicesima. $$ ( \sqrt[12]{25} )^{12} = 25 $$ $$ ( \sqrt[12]{27} )^{12} =27 $$ In questo modo elimino la radice. Essendo 27 maggiore di 25, deduco che il secondo radicale è maggiore del primo.
E così via.