La radice di un radicale

La radice m-esima di un radicale con indice n è un radicale che ha lo stesso radicando e un indice di radice uguale al prodotto degli indici n*m $$ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a} $$

Dalla formula della radice del radicale deriva anche la proprietà commutativa degli indici.

$$ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} $$

In pratica, posso scambiare gli indici delle radici tra loro.

Un esempio pratico

Considero il radicale

$$ \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^4}} $$

$$ \sqrt[4 \cdot 3]{a^4}$$

Applico la formula per calcolare la radice del radicale

$$ \sqrt[12]{a^4} $$

Infine semplifico l'indice e l'esponente del radicando dividendo entrambi per 4

$$ \sqrt[\frac{12}{4}]{a^\frac{4}{4}} $$

$$ \sqrt[3]{a} $$

Nota. Avrei potuto risolvere più rapidamente il radicale scambiando gli indici delle radici tra loro $$ \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^4}} $$ $$ \sqrt[3]{\sqrt[4]{a^4}} $$ Questo mi permette di semplificare il radicale più interno perché l'indice della radice e l'esponente del radicando sono entrambi uguali a 4 $$ \sqrt[3]{\sqrt[\not{4}]{a^{\not{4}}}} $$ Il risultato finale è lo stesso $$ \sqrt[3]{a} $$

La dimostrazione

A] La radice del radicale

Per dimostrare la formula elevo entrambi i membri dell'equazione per m*n

$$ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a} $$

$$ ( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} )^{m \cdot n} = ( \sqrt[m \cdot n]{a} )^{m \cdot n} $$

Semplifico il radicale al secondo membro dell'equazione

$$ ( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} )^{m \cdot n} = a $$

Applico le proprietà delle potenze al primo membro dell'equazione

$$ ( [ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} ]^m )^n = a $$

Poi semplifico l'esponente m con l'indice di radice m

$$ ( \sqrt[m]{a} )^n = a $$

Infine semplifico l'esponente n con l'indice di radice n

$$ a = a $$

I due membri dell'equazione sono uguali.

Questo dimostra la formula di risoluzione della radice di un radicale.

B] Lo scambio degli indici della radice

Considero il radicale

$$ ( \sqrt[m]{a} )^n $$

Applico la formula della radice di un radicale

$$ \sqrt[m \cdot n]{a} $$

Per la proprietà commutativa della moltiplicazione m·n = n·m

$$ \sqrt[n \cdot m]{a} $$

Applico all'inverso la formula della radice di un radicale

$$ ( \sqrt[n]{a} )^m $$

Pertanto, vale l'uguaglianza seguente

$$ ( \sqrt[m]{a} )^n = ( \sqrt[n]{a} )^m $$

Questo dimostra la proprietà commutativa degli indici delle radici.

E così via.

 


 

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I radicali