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La radice di un radicale

La radice m-esima di un radicale con indice n è un radicale che ha lo stesso radicando e un indice di radice uguale al prodotto degli indici n*m mna=mna

Dalla formula della radice del radicale deriva anche la proprietà commutativa degli indici.

mna=nma

In pratica, posso scambiare gli indici delle radici tra loro.

Un esempio pratico

Considero il radicale

43a4

43a4

Applico la formula per calcolare la radice del radicale

12a4

Infine semplifico l'indice e l'esponente del radicando dividendo entrambi per 4

124a44

3a

Nota. Avrei potuto risolvere più rapidamente il radicale scambiando gli indici delle radici tra loro 43a4 34a4 Questo mi permette di semplificare il radicale più interno perché l'indice della radice e l'esponente del radicando sono entrambi uguali a 4 34a4 Il risultato finale è lo stesso 3a

La dimostrazione

A] La radice del radicale

Per dimostrare la formula elevo entrambi i membri dell'equazione per m*n

mna=mna

(mna)mn=(mna)mn

Semplifico il radicale al secondo membro dell'equazione

(mna)mn=a

Applico le proprietà delle potenze al primo membro dell'equazione

([mna]m)n=a

Poi semplifico l'esponente m con l'indice di radice m

(ma)n=a

Infine semplifico l'esponente n con l'indice di radice n

a=a

I due membri dell'equazione sono uguali.

Questo dimostra la formula di risoluzione della radice di un radicale.

B] Lo scambio degli indici della radice

Considero il radicale

(ma)n

Applico la formula della radice di un radicale

mna

Per la proprietà commutativa della moltiplicazione m·n = n·m

nma

Applico all'inverso la formula della radice di un radicale

(na)m

Pertanto, vale l'uguaglianza seguente

(ma)n=(na)m

Questo dimostra la proprietà commutativa degli indici delle radici.

E così via.

 


 

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I radicali