La radice di un radicale
La radice m-esima di un radicale con indice n è un radicale che ha lo stesso radicando e un indice di radice uguale al prodotto degli indici n*m m√n√a=m⋅n√a
Dalla formula della radice del radicale deriva anche la proprietà commutativa degli indici.
m√n√a=n√m√a
In pratica, posso scambiare gli indici delle radici tra loro.
Un esempio pratico
Considero il radicale
4√3√a4
4⋅3√a4
Applico la formula per calcolare la radice del radicale
12√a4
Infine semplifico l'indice e l'esponente del radicando dividendo entrambi per 4
124√a44
3√a
Nota. Avrei potuto risolvere più rapidamente il radicale scambiando gli indici delle radici tra loro 4√3√a4 3√4√a4 Questo mi permette di semplificare il radicale più interno perché l'indice della radice e l'esponente del radicando sono entrambi uguali a 4 3√⧸4√a⧸4 Il risultato finale è lo stesso 3√a
La dimostrazione
A] La radice del radicale
Per dimostrare la formula elevo entrambi i membri dell'equazione per m*n
m√n√a=m⋅n√a
(m√n√a)m⋅n=(m⋅n√a)m⋅n
Semplifico il radicale al secondo membro dell'equazione
(m√n√a)m⋅n=a
Applico le proprietà delle potenze al primo membro dell'equazione
([m√n√a]m)n=a
Poi semplifico l'esponente m con l'indice di radice m
(m√a)n=a
Infine semplifico l'esponente n con l'indice di radice n
a=a
I due membri dell'equazione sono uguali.
Questo dimostra la formula di risoluzione della radice di un radicale.
B] Lo scambio degli indici della radice
Considero il radicale
(m√a)n
Applico la formula della radice di un radicale
m⋅n√a
Per la proprietà commutativa della moltiplicazione m·n = n·m
n⋅m√a
Applico all'inverso la formula della radice di un radicale
(n√a)m
Pertanto, vale l'uguaglianza seguente
(m√a)n=(n√a)m
Questo dimostra la proprietà commutativa degli indici delle radici.
E così via.