La radice di un radicale
La radice m-esima di un radicale con indice n è un radicale che ha lo stesso radicando e un indice di radice uguale al prodotto degli indici n*m $$ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a} $$
Dalla formula della radice del radicale deriva anche la proprietà commutativa degli indici.
$$ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} $$
In pratica, posso scambiare gli indici delle radici tra loro.
Un esempio pratico
Considero il radicale
$$ \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^4}} $$
$$ \sqrt[4 \cdot 3]{a^4}$$
Applico la formula per calcolare la radice del radicale
$$ \sqrt[12]{a^4} $$
Infine semplifico l'indice e l'esponente del radicando dividendo entrambi per 4
$$ \sqrt[\frac{12}{4}]{a^\frac{4}{4}} $$
$$ \sqrt[3]{a} $$
Nota. Avrei potuto risolvere più rapidamente il radicale scambiando gli indici delle radici tra loro $$ \sqrt[4]{\sqrt[3]{a^4}} $$ $$ \sqrt[3]{\sqrt[4]{a^4}} $$ Questo mi permette di semplificare il radicale più interno perché l'indice della radice e l'esponente del radicando sono entrambi uguali a 4 $$ \sqrt[3]{\sqrt[\not{4}]{a^{\not{4}}}} $$ Il risultato finale è lo stesso $$ \sqrt[3]{a} $$
La dimostrazione
A] La radice del radicale
Per dimostrare la formula elevo entrambi i membri dell'equazione per m*n
$$ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a} $$
$$ ( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} )^{m \cdot n} = ( \sqrt[m \cdot n]{a} )^{m \cdot n} $$
Semplifico il radicale al secondo membro dell'equazione
$$ ( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} )^{m \cdot n} = a $$
Applico le proprietà delle potenze al primo membro dell'equazione
$$ ( [ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} ]^m )^n = a $$
Poi semplifico l'esponente m con l'indice di radice m
$$ ( \sqrt[m]{a} )^n = a $$
Infine semplifico l'esponente n con l'indice di radice n
$$ a = a $$
I due membri dell'equazione sono uguali.
Questo dimostra la formula di risoluzione della radice di un radicale.
B] Lo scambio degli indici della radice
Considero il radicale
$$ ( \sqrt[m]{a} )^n $$
Applico la formula della radice di un radicale
$$ \sqrt[m \cdot n]{a} $$
Per la proprietà commutativa della moltiplicazione m·n = n·m
$$ \sqrt[n \cdot m]{a} $$
Applico all'inverso la formula della radice di un radicale
$$ ( \sqrt[n]{a} )^m $$
Pertanto, vale l'uguaglianza seguente
$$ ( \sqrt[m]{a} )^n = ( \sqrt[n]{a} )^m $$
Questo dimostra la proprietà commutativa degli indici delle radici.
E così via.
