Come ridurre due o più radicali allo stesso indice

Cerco il minimo comune multiplo (m.c.m) degli indici delle radici (detto minimo comune indice).
Trasformo ogni radicale in un radicale equivalente con indice uguale al minimo comune indice.

In questo modo ottengo due radicali equivalenti che hanno lo stesso indice.

Un esempio pratico

Ho due radicali

$$ \sqrt[4]{a^3} \cdot \sqrt[6]{b} $$

La condizione di esistenza è

$$ a,b \ge 0 $$

I due radicali hanno indice diverso (4 e 6).

$$ \sqrt[\color{red}4]{a^3} \cdot \sqrt[\color{red}6]{b} $$

Quindi, per calcolare il prodotto devo prima ridurli allo stesso indice.

Calcolo il minimo comune multiplo (mcm) degli indici dei radicali.

$$ m.c.m.(4,6) = 12 $$

Il minimo comune indice dei due radicali è 12.

Per la proprietà invariantiva dei radicali moltiplico per 3 l'indice e l'esponente del radicando del primo radicale.

In questo modo ottengo un radicale equivalente con indice uguale al minimo comune indice 12

$$ \sqrt[4 \cdot \color{red}3]{(a^3)^\color{red}3} \cdot \sqrt[6]{b} $$

$$ \sqrt[12]{a^9} \cdot \sqrt[6]{b} $$

Applico di nuovo la proprietà invariantiva moltiplicando per 2 l'indice e l'esponente del radicando del secondo radicale.

In questo modo ottengo un radicale equivalente con l'indice di radice uguale al minimo comune indice 12.

$$ \sqrt[12]{a^9} \cdot \sqrt[6 \cdot \color{red}2]{(b)^\color{red}2} $$

$$ \sqrt[12]{a^9} \cdot \sqrt[12]{b^2} $$

Ora i due radicali hanno lo stesso indice

Pertanto, posso procedere con la moltiplicazione dei radicali

$$ \sqrt[12]{a^9} \cdot \sqrt[12]{b^2} = \sqrt[12]{a^9b^2} $$

Il risultato è

$$ \sqrt[12]{a^9b^2} $$

Esempio 2

Questi tre radicali hanno indice diverso

$$ \sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[6]{7} \cdot \sqrt[3]{7} $$

Calcolo il minimo comune multiplo (mcm) dei tre indici

$$ m.c.m.(4,6,3) = 12 $$

Pertanto, il minimo comune indice dei radicali è 12

Trasformo ogni radicale al minimo comune indice appena trovato applicando la proprietà invariantiva dei radicali

$$ \sqrt[4 \cdot 3]{(7)^3} \cdot \sqrt[6 \cdot 2]{(7)^2} \cdot \sqrt[3 \cdot 4]{(7)^4} $$

$$ \sqrt[12]{7^3} \cdot \sqrt[12]{7^2} \cdot \sqrt[12]{7^4} $$

Ora i radicali hanno lo stesso indice.

Quindi, posso svolgere la moltiplicazione

$$ \sqrt[12]{7^3 \cdot 7^2 \cdot 7^4} $$

$$ \sqrt[12]{7^{3+2+4}} $$

$$ \sqrt[12]{7^{9}} $$

Nota. Questo è già il risultato della moltiplicazione. Tuttavia, si tratta di un radicale riducibile perché l'indice e l'esponente del radicando hanno divisori in comune. Pertanto, per concludere l'esercizio devo trasformare il risultato in un radicale irriducibile equivalente.

Infine semplifico dividendo per 3 sia l'indice che l'esponente del radicando

$$ \sqrt[\frac{12}{3}]{7^{\frac{9}{3}}} $$

$$ \sqrt[4]{7^3} $$

Quest'ultimo è il risultato della moltiplicazione.

E così via.