La radice dei numeri negativi
Nell'insieme dei numeri reali la radice con indice pari dei numeri negativi non è calcolabile, perché nessun numero moltiplicato per se stesso un numero pari di volte è negativo.
Ad esempio, questa radice non posso calcolarla
$$ \sqrt{-9} = impossibile $$
perché non moltiplicando -3 per se stesso ottengo un numero positivo (+9) anziché il radicando (-9)
$$ (-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = + 9 $$
Quindi le radici con indice pari (n) sono definite solo nell'insieme dei numeri reali non negativi.
$$ \sqrt[n=pari]{a} \in R^+ + \{ 0 \} $$
Osservazione. Questo vale solo per i radicalil'insieme dei numeri reali (R). Usando altri insiemi numerici il discorso cambia. Ad esempio, i numeri complessi consentono anche il calcolo delle radici con indice pari e radicando negativo .
Viceversa, sono sempre calcolabili le radici con indice dispari di un numero negativo.
Ad esempio, questa radice posso calcolarla
$$ \sqrt[3]{-27} = -3 $$
perché moltiplicando -3 per se stesso tre volte ottengo un numero negativo che eguaglia il radicando (-27)
$$ (-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27 $$
Quindi le radice con indice dispari (n) sono definite in tutto l'insieme dei numeri reali.
$$ \sqrt[n=dispari]{a} \in R $$
Un caso particolare
Può capitare di dover semplificare un radicale con indice pari e radicando negativo
$$ \sqrt[4]{(-3)^2} $$
In questo caso non è possibile semplificare l'indice e l'esponente del radicando perché si cadrebbe in un radicale impossibile da calcolare.
$$ \sqrt[4]{(-3)^2} = \sqrt[2]{-3} = impossibile $$
Tuttavia, l'esponente del radicando è pari.
Quindi posso scrivere il radicando in questa forma equivalente
$$ (-3)^2 = (+3)^2 = | -3 |^2 $$
Sostituisco (-3)2 con il valore assoluto |-3|2
$$ \sqrt[4]{(-3)^2} $$
$$ \sqrt[4]{|-3|^2} $$
Poi semplifico l'indice della radice con l'esponente del radicando
$$ \sqrt{|-3|} $$
Sapendo che il valore assoluto è |-3|=3
$$ \sqrt{3} $$
Pertanto, se la radice ha indice pari ma il radicando ha esponente pari vale la regola
$$ \sqrt[4]{(-3)^2} = \sqrt[4]{(3)^2} $$
La regola vale in generale per qualsiasi valore (a) del radicando se n=pari e m=pari
$$ \sqrt[n]{a^m} = \sqrt[n]{|a|^m} $$
Esempio
Devo risolvere il radicale
$$ \sqrt{(a-5)^2} $$
L'espressione (a-5)2 è sempre non negativa perché l'esponente del radicando è pari.
Quindi, posso sostituire l'espressione con il suo valore assoluto.
$$ \sqrt{|a-5|^2} $$
A questo punto semplifico l'indice della radice con l'esponente del radicando
$$ \sqrt{|a-5|^2} = | a-5| $$
Il risultato del radicale è il valore assoluto |a-5|
Nota. Sarebbe stato un errore grave semplificare prima di aver trasformato il radicando in un valore assoluto $$ \sqrt{(a-5)^2} = a-5 $$ perché l'espressione a-5 senza valore assoluto ammette anche valori negativi ma nessuna radice con indice pari è definita nell'insieme dei numeri reali negativi. Pertanto, non è il risultato corretto.
La proprietà invariantiva non è applicabile se il radicando è negativo
Se il radicando negativo non posso applicare la proprietà invariantiva
Esempio
Un radicale con indice dispari ammette il radicando negativo.
$$ \sqrt[3]{-8} = -2 \ \Longrightarrow \ (-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 $$
In questo caso il valore del radicale è -2.
Se applicassi la proprietà invariantiva, moltiplicando l'indice e l'esponente del radicando per due, otterrei un valore diverso (+2).
$$ \sqrt[3 \cdot 2]{(-8)^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2 $$
Tuttavia, 23=8, non è -8.
$$ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $$
In conclusione, per evitare di incappare in errore, se il radicando è negativo la proprietà invariantiva dei radicali non va mai applicata.
Una possibile soluzione. Tuttavia, se e solo se l'indice n del radicali è dispari posso scomporre il radicando in un prodotto -1·8 $$ \sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{-1 \cdot 8} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{8} $$ Sapendo che (-1)3=-1 $$ \sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{-1 \cdot 8} = \sqrt[3]{-1} \cdot \sqrt[3]{8} = -1 \sqrt[3]{8} $$ In questa forma equivalente la proprietà invariantiva è applicabile. Ad esempio, moltiplico l'indice e l'esponente del radicando per due. $$ - \sqrt[3]{8} = -1 \cdot \sqrt[3 \cdot 2]{8^2} = - \sqrt[6]{64} = -2 $$ Il risultato è corretto.
E così via.
