Teorema dell'impulso
L'impulso di una forza (I) è uguale alla variazione della quantità di moto (Δp) $$ \vec {I} = \Delta \vec{p} $$ o in termini differenziali $$ \vec {I} = d \vec{p} $$
A cosa serve?
Il teorema dell'impulso mi permette di calcolare la variazione della quantità di moto quando conosco la forza.
La variazione della quantità di moto è tanto maggiore quanto più elevato è l'impulso, ossia la forza agente sul corpo per un determinato tempo.
Esempio. Un fucile a canna lunga ha una maggiore gittata rispetto a un fucile a canna corta a parità della forza F esercitata dall'esplosione sul proiettile.
Il teorema dell'impulso afferma che una variazione della forza I=F·Δt in un intervallo di tempo (Δt) causa una variazione della quantità di moto Δp.
Di conseguenza, se la forza applicata è nulla (F=0) la quantità di moto resta costante (Δp=0).
Quest'ultimo fenomeno è detto conservazione della quantità di moto.
Esempio. Un corpo che si muove nel vuoto dello spazio a una velocità costante, in assenza di forze applicate conserva la propria quantità di moto. E' quindi necessario usare una determinata forza per fermarlo.
La dimostrazione
La forza è uguale alla massa per l'accelerazione
$$ \vec{F} = m \cdot \vec{a} $$
A sua volta l'accelerazione è la variazione della velocità nel tempo
$$ \vec{F} = m \cdot \frac{ \Delta \vec{v} }{ \Delta t } $$
Porto delta t al primo membro e ottengo
$$ \vec{F} \cdot \Delta t = m \cdot \Delta \vec{v} $$
Al primo membro c'è l'impulso I=F·Δt
$$ I = m \cdot \Delta \vec{v} $$
Nota. L'impulso di una forza è il prodotto di una forza agente su un corpo per l'intervallo di tempo. $$ \vec{I} = \vec{F} \cdot \Delta t $$
Al secondo membro c'è la variazione della quantità di moto p=m·v ossia Δp=m·Δv
$$ I = \Delta \vec{p} $$
Quindi il teorema dell'impulso posso riscriverlo
$$ \vec {I} = \Delta \vec{p} $$
Dimostrazione in termini differenziali
La quantità di moto è
$$ \vec{p} = m \cdot \vec{v} $$
Se la velocità del corpo è molto più bassa rispetto alla velocità della luce (massa relativistica) la massa (m) è costante.
Quando la massa è costante la quantità di moto (p) posso scriverla anche in relazione alla forza (F)
$$ \vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} $$
Nota. La forza è $$ \vec{F} = m \cdot \vec{a} $$ Sapendo che l'accelerazione è la derivata prima della velocità rispetto al tempo $$ \vec{F} = m \cdot \frac{ \vec{v} }{dt} $$ Sapendo che la quantità di moto è m*v=p allora m*dv=dp $$ \vec{F} = \frac{ d\vec{p} }{dt} $$
Porto il tempo al primo membro
$$ \vec{F} \ dt = d \vec{p} $$
Quindi, una variazione della forza in un istante infinitesimo (dt) provoca una variazione infinitesima della quantità di moto di un corpo (dp).
Integro entrambi i membri per le rispettive variabili in un intervallo di tempo Δt=t-t0
$$ \int_{t_0}^t \vec{F} \ dt = \int_{p_0}^p d \vec{p} $$
Per semplicità considero l'istante iniziale t0=0
$$ \int_0^t \vec{F} \ dt = \int_{p_0}^p d \vec{p} $$
$$ \vec{F} \cdot \int_0^t dt = \int_{p_0}^p d \vec{p} $$
Applico il teorema fondamentale dell'integrazione a entrambi i membri
$$ \vec{F} \cdot (t-0) = \vec{p} - \vec{p_0} $$
$$ \vec{F} \cdot \Delta t = \Delta \vec{p} $$
Il primo membro è l'impulso della forza I=F· Δt
$$ I = \Delta \vec{p} $$
Nota. Sapendo che la quantità di moto è p=m·v, posso riscrivere l'impulso della forza anche in relazione alla velocità $$ I = \Delta \vec{p} $$ $$ I = p - p_0 $$ $$ I = (m \cdot \vec{v}) - (m \cdot \vec{v}_0 $$ $$ I = m \cdot ( \vec{v}) - \vec{v}_0 ) $$ $$ I = m \cdot \Delta \vec{v} $$
E così via.
