Potenze con esponente razionale
Una potenza con esponente razionale (o frazionario) equivale a una radice n-esima della base k elevata a m $$ k^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{k^m}$$ Dove:
- Se $ n $ è pari, la base k dev’essere maggiore o uguale a zero (k ≥ 0).
- Se $ n $ è dispari, la base k può essere qualsiasi numero reale, positivo o negativo.
Ad esempio, il numero 25 elevato a 1/2 equivale alla radice quadrata di 25
$$ 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5 $$
il numero 5 elevato a 2/3 equivale alla radice cubica di 52
$$ 5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25} $$
il numero 7 elevato a 3/4 equivale alla radice quarta di 73
$$ 7^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{7^3} $$
Nota. Le potenze con esponente razionale non sono definite quando la base è negativa e il denominatore n dell'esponente m/n è pari. Ad esempio, la potenza (-5)3/4 non è definita perché equivale a $ \sqrt[4]{(-5)^3} $ e nessun numero negativo (-5) moltiplicato per se stesso un numero pari di volte (4) dà come risultato un numero negativo.
Il dominio delle potenze con esponente razionale
L'esponente razionale modifica il dominio della potenza rispetto agli esponenti interi.
- Se la base è positiva (k>0) l'esponente razionale m/n può essere qualsiasi.
Esempio. Considero il numero 27 elevato a 1/3 $$ (-27)^{\frac{1}{3}} $$ Trasformo la potenza in un radicale equivalente. $$ (27)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27^1} $$ $$ (27)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3^3} $$ $$ (27)^{\frac{1}{3}} = 3 $$ Il risultato è 3 perché $ 3·3·3= 27 $
- Se la base è zero (k=0) l'esponente razionale m/n non può essere nullo o negativo.
Esempio. In matematica il numero 0 elevato a 0 è una forma indefinita $$ 0^0 $$ Inoltre, il numero 0 elevato per un qualsiasi numero negativo passa al denominatore di una frazione $$ 0^{-1} = \frac{1}{0} $$ e la divisione per zero non è possibile perché 0 non ha un elemento inverso.
- Se la base è negativa (k<0) le potenze con esponente razionale non sono definite se il denominatore n dell'esponente razionale (m/n) è pari.
Esempio. Considero il numero -4. Per assurdo ipotizzo che -4 sia uguale a -161/2 $$ -4=(-16)^{\frac{1}{2}} $$ Per la proprietà invariantiva elevo il lato destro per 4/4. $$ -4= [ (-16)^{\frac{1}{2}} ]^{\frac{4}{4}} $$ Poi applico le proprietà delle potenze.$$ -4= [ (-16)^{\frac{1}{2} \cdot 4} ]^{\frac{1}{4}} $$ $$ -4= [ (-16)^{\frac{4}{2}} ]^{\frac{1}{4}} $$ $$ -4= [ (-16)^2 ]^{\frac{1}{4}} $$ $$ -4= [ 256 ]^{\frac{1}{4}} $$ $$ -4= \sqrt[4]{256} $$ $$ -4= 4 $$ Il che è impossibile perché -4 non è uguale a 4.
Esempio 2. Considero il numero -27 elevato a 1/3 $$ (-27)^{\frac{1}{3}} $$ La base è negativa (-27) ma il denominatore dell'esponente 1/3 è dispari (3). Quindi, la potenza con esponente razionale è definita. Trasformo la potenza in un radicale equivalente. $$ (-27)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-27^1} $$ $$ (-27)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-3^3} $$ $$ (-27)^{\frac{1}{3}} = -3 $$ Il risultato è -3 perché $ (-3)·(-3)·(-3)= - 27 $
Le proprietà delle potenze
Le proprietà delle potenze valgono anche se l'esponente è razionale (cioè una frazione) solo se:
- La base è positiva
oppure la base è negativa con il denominatore dell’esponente dispari - Tutte le espressioni intermedie sono realmente definite
- Percorsi di calcolo differenti conducono a risultati coerenti tra loro.
Se anche una sola di queste condizioni viene violata, la proprietà non è applicabile alla potenza con esponente razionale.
Esempio
Considero la potenza
$$ (-1)^{2/4} $$
Se applico la proprietà delle potenze $ ( a^n )^m = a^{n \cdot m} $ ottengo:
$$ (-1)^{2/4} = [(-1)^2]^{1/4} = 1^{1/4} = \sqrt[4]{1}=1 $$
Tuttavia, se cambio l'ordine delle operazioni ottengo un risultato diverso
$$ (-1)^{2/4} = [(-1)^{1/4}]^2 = (\sqrt[4]{-1})^2 = \text{non definito nei reali} $$
Questa espressione non è definita nei reali, poiché non esiste la radice quarta di un numero negativo nel campo reale.
I due risultati non sono coerenti, quindi la proprietà $ ( a^n )^m = a^{n \cdot m} $ non si può applicare in modo indiscriminato.
Esempio 2
Considero la potenza
$$ (-8)^{2/3} $$
Applico la proprietà delle potenze $ ( a^n )^m = a^{n \cdot m} $ ottengo:
$$ (-8)^{2/3} = [(-8)^2]^{1/3} = 64^{1/3} = \sqrt[3]{64}=4 $$
Seguendo un passaggio intermedio diverso ottengo:
$$ (-8)^{2/3} = [(-8)^{1/3}]^2 = (\sqrt[3]{-8})^2 = (-2)^2 = 4 $$
In questo caso il risultato è lo stesso perché la base è negativa e il denominatore è dispari, quindi si può estrarre la radice cubica anche da un numero negativo. Inoltre, tutte le operazioni intermedie sono definite nei reali.
Pertanto, la proprietà $ ( a^n )^m = a^{n \cdot m} $ si può applicare.
Esempio 3
Considero la potenza
$$ (-8)^{1/3} $$
In questo caso l'espressione è perfettamente definita nei numeri reali e si può calcolare senza ambiguità:
$$ (-8)^{1/3} = \sqrt[3]{-8} = -2 $$
Tuttavia, se cerco di applicare la proprietà delle potenze $ a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}} $ ottengo un risultato diverso, pur passando attraverso espressioni tutte ben definite:
$$ (-8)^{1/3} = (-8)^{2/6} = [(-8)^2]^{1/6}= 64^{1/6} = \sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2 $$
La contraddizione mostra che non è lecito applicare questa proprietà delle potenze con basi negative anche quando tutte le espressioni intermedie sono reali.
$$ (-8)^{1/3} = -2 \quad \text{ma} \quad (-8)^{2/6} = 2 $$
Infatti, in questo caso la manipolazione ha portato a un risultato incoerente nei reali, pur non incontrando espressioni formalmente “non definite”.
E così via.
