Potenze con esponente razionale
Una potenza con esponente razionale (o frazionario) equivale a una radice n-esima della base k elevata a m $$ k^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{k^m}$$ dove la base k ≥ 0 è un numero non negativo.
Ad esempio, il numero 25 elevato a 1/2 equivale alla radice quadrata di 25
$$ 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = \pm 5 $$
il numero 5 elevato a 2/3 equivale alla radice cubica di 25
$$ 5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25} $$
il numero 7 elevato a 3/4 equivale alla radice quarta di 73
$$ 7^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{7^3} $$
Nota. Le potenze con esponente razionale non sono definite quando la base è negativa. Ad esempio -33 non è definita.
Il dominio delle potenze con esponente razionale
L'esponente razionale modifica il dominio della potenza rispetto agli esponenti interi.
- Se la base è positiva (k>0) l'esponente razionale m/n può essere qualsiasi.
- Se la base è zero (k=0) l'esponente razionale m/n non può essere nullo o negativo.
Esempio. In matematica il numero 0 elevato a 0 è una forma indefinita $$ 0^0 $$ Inoltre, il numero 0 elevato per un qualsiasi numero negativo passa al denominatore di una frazione $$ 0^{-1} = \frac{1}{0} $$ e la divisione per zero non è possibile perché 0 non ha un elemento inverso.
- Se la base è negativa (k<0) le potenze con esponente razionale non sono definite.
Esempio. Considero il numero -27. Per assurdo ipotizzo che -27 sia uguale a -33 $$ -27=(-3)^{3} $$ Per la proprietà invariantiva elevo il membro a destra per l'esponente razionale 2/2 ossia 1 $$ -27=(-3)^{3} = [ (-3)^{3} ]^{\frac{2}{2}} $$ Applico le proprietà delle potenze $$ -27=(-3)^{3} = \{ [ (-3)^{3} ]^2 \}^{\frac{1}{2}} $$ L'esponente 1/2 equivale alla radice quadrata $$ -27=(-3)^{3} = \sqrt{ [ (-3)^{3} ]^2 } $$ $$ -27=(-3)^{3} = \sqrt{ (-3)^6 } $$ Un numero negativo elevato a una potenza pari equivale allo stesso numero cambiato di segno con la stessa potenza ossia (-3)6=36 $$ -27=(-3)^{3} = \sqrt{ 3^6 } $$ $$ -27=(-3)^{3} = \sqrt{ 3^2 \cdot 3^2 \cdot 3^2 } $$ $$ -27=(-3)^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 $$ $$ -27=(-3)^{3} = 27 $$ Il che è impossibile, -27 non è uguale a 27.
E così via.
