Potenze con esponente razionale
Una potenza con esponente razionale (o frazionario) equivale a una radice n-esima della base k elevata a m $$ k^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{k^m}$$ Dove:
- Se il denominatore n è pari, la base k dev'essere un numero non negativo (k ≥ 0).
- Se il denominatore n è dispari, la base k può essere un numero reale qualsiasi, positivo o negativo.
Ad esempio, il numero 25 elevato a 1/2 equivale alla radice quadrata di 25
$$ 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = \pm 5 $$
il numero 5 elevato a 2/3 equivale alla radice cubica di 25
$$ 5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{5^2} = \sqrt[3]{25} $$
il numero 7 elevato a 3/4 equivale alla radice quarta di 73
$$ 7^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{7^3} $$
Nota. Le potenze con esponente razionale non sono definite quando la base è negativa e il denominatore n dell'esponente m/n è pari. Ad esempio, la potenza -53/4 non è definita perché equivale a $ \sqrt[4]{-5^3} $ e nessun numero negativo (-5) moltiplicato per se stesso un numero pari di volte (4) dà come risultato un numero negativo.
Il dominio delle potenze con esponente razionale
L'esponente razionale modifica il dominio della potenza rispetto agli esponenti interi.
- Se la base è positiva (k>0) l'esponente razionale m/n può essere qualsiasi.
Esempio. Considero il numero 27 elevato a 1/3 $$ (-27)^{\frac{1}{3}} $$ Trasformo la potenza in un radicale equivalente. $$ (27)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27^1} $$ $$ (27)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3^3} $$ $$ (27)^{\frac{1}{3}} = 3 $$ Il risultato è 3 perché $ 3·3·3= 27 $
- Se la base è zero (k=0) l'esponente razionale m/n non può essere nullo o negativo.
Esempio. In matematica il numero 0 elevato a 0 è una forma indefinita $$ 0^0 $$ Inoltre, il numero 0 elevato per un qualsiasi numero negativo passa al denominatore di una frazione $$ 0^{-1} = \frac{1}{0} $$ e la divisione per zero non è possibile perché 0 non ha un elemento inverso.
- Se la base è negativa (k<0) le potenze con esponente razionale non sono definite se il denominatore n dell'esponente razionale (m/n) è pari.
Esempio. Considero il numero -4. Per assurdo ipotizzo che -4 sia uguale a -161/2 $$ -4=(-16)^{\frac{1}{2}} $$ Per la proprietà invariantiva elevo il lato destro per 4/4. $$ -4= [ (-16)^{\frac{1}{2}} ]^{\frac{4}{4}} $$ Poi applico le proprietà delle potenze.$$ -4= [ (-16)^{\frac{1}{2} \cdot 4} ]^{\frac{1}{4}} $$ $$ -4= [ (-16)^{\frac{4}{2}} ]^{\frac{1}{4}} $$ $$ -4= [ (-16)^2 ]^{\frac{1}{4}} $$ $$ -4= [ 256 ]^{\frac{1}{4}} $$ $$ -4= \sqrt[4]{256} $$ $$ -4= 4 $$ Il che è impossibile perché -4 non è uguale a 4.
Esempio 2. Considero il numero -27 elevato a 1/3 $$ (-27)^{\frac{1}{3}} $$ La base è negativa (-27) ma il denominatore dell'esponente 1/3 è dispari (3). Quindi, la potenza con esponente razionale è definita. Trasformo la potenza in un radicale equivalente. $$ (-27)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-27^1} $$ $$ (-27)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-3^3} $$ $$ (-27)^{\frac{1}{3}} = -3 $$ Il risultato è -3 perché $ (-3)·(-3)·(-3)= - 27 $
E così via.
