Regola del valore assoluto nelle disequazioni
La regola del valore assoluto permette di trasformare una disequazione con modulo in una disequazione equivalente senza modulo.
- Il modulo di una disequazione della forma \[ |A| < B \quad \text{con } B > 0 \] equivale a scrivere \[ -B < A < B \] cioè l’espressione \( A \) deve essere compresa tra \( -B \) e \( +B \).
- Il modulo di una disequazione della forma \[ |A| > B \quad \text{con } B > 0 \] equivale a scrivere \[ A < -B \quad \text{oppure} \quad A > B \] cioè \( A \) deve trovarsi fuori dall’intervallo \( (-B, B) \).
La condizione $ B > 0 $ è necessaria, in quanto il modulo $ |A| $ è sempre maggiore o uguale a zero.
Un esempio pratico
Esempio 1
Devo risolvere la disequazione
\[ |x - 2| < 3 \]
Applico la regola
\[ |A| < B \iff -B < A < B \]
Dove \( A = x - 2 \) e \( B = 3 \). Dunque:
\[ -3 < x - 2 < 3 \]
Sommo 2 a tutti i membri:
\[ -3 +2 < x - 2 +2 < 3 +2 \]
\[ -1 < x < 5 \]
Quindi, la disequazione è soddisfatta per tutti i valori di \( x \) compresi tra -1 e -5.
Esempio 2
Considero la disequazione
\[ |x + 1| > 2 \]
Applico la regola
\[ |A| > B \iff A < -B \ \text{oppure} \ A > B \]
In questo caso \( A = x + 1 \) e \( B = 2 \).
\[ x + 1 < -2 \quad \text{oppure} \quad x + 1 > 2 \]
Risolvo i due rami
- \( x + 1 < -2 \Rightarrow x < - 3 \)
- \( x+1 > 2 \Rightarrow x> 1 \)
Quindi, le soluzioni sono:
\[ x < -3 \quad \text{oppure} \quad x > 1 \]
Dunque, le soluzioni sono i valori di \( x \) esterni all’intervallo \( (-3, 1) \).
La dimostrazione
Per dimostrare la regola del valore assoluto nelle disequazioni, considero la definizione di valore assoluto:
\[ |A| = \begin{cases} A \quad \text{se } A \ge 0 \\ \\ -A \quad \text{se } A < 0 \end{cases} \]
Prendo due numeri reali \( A \) e \( B \) e assumo \( B > 0 \).
1) Dimostrazione di \( |A| < B \iff -B < A < B \)
Essendo una doppia implicazione $ \iff $ devo dimostrare sia l'implicazione diretta (⇒) che l'implicazione inversa (⇐)
Implicazione diretta (⇒)
Suppongo \( |A| < B \) e considero i due casi $ A \ge 0 $ e $ A<0 $.
- Caso 1: \( A \ge 0 \)
Se \( A \ge 0 \), allora il modulo vale \( |A| = A \). Quindi \[ |A| < B \Rightarrow A < B \] Poiché \( A \ge 0 \) e \( B > 0 \), deduco che \( A > -B \). Dunque, posso scrivere: \[ - B < A < B \] - Caso 2: \( A < 0 \)
Se \( A < 0 \), allora il modulo vale \( |A| = -A \). Quindi\[ |A| < B \Rightarrow -A < B \] Moltiplicando per \(-1\) e cambiando il verso:\[ A > -B \] Sapendo che $ B>0 $ e $ A<0 $, deduco che $ A<B $. Dunque: \[ - B < A < B \]
In entrambi i casi ottengo
\[ |A| < B \Rightarrow -B < A < B \]
Implicazione inversa (⇐)
Suppongo \( - B < A < B \) e considero due casi $ A \ge 0 $ e $ A<0 $.
- Caso 1: \( A \ge 0 \)
Se \( A \ge 0 \) allora il modulo vale \( |A|=A \). Dalla disequazione $ A <B $ deduco subito che \[ |A| < B \] - Caso 2: \( A < 0 \)
Se \( A \lt 0 \) allora il modulo vale \( |A|=-A \). Considero la disequazione $ -B <A $, moltiplico per -1 entrambi i membri e ottengo $ B>-A $ cioè $ -A<B $. Siccome $ |A|=-A $ deduco che $ |A|<B $
In conclusione, in entrambi i casi ottengo:
$$ -B < A < B \Rightarrow | A| <B $$
Unendo le due implicazioni:
\[ |A| < B \iff -B < A < B \quad (B > 0) \]
La regola è dimostrata.
2) Dimostrazione di \( |A| > B \iff A < -B \ \text{oppure} \ A > B \)
Essendo una doppia implicazione $ \iff $, anche in questo caso devo dimostrare sia l'implicazione diretta (⇒) che l'implicazione inversa (⇐)
Per ipotesi iniziale $ B>0 $ è un numero reale positivo.
Implica diretta (⇒)
Suppongo \( |A| > B \) e considero due casi $ A \ge 0 $ e $ A<0 $.
- Caso 1: \( A \ge 0 \)
Se \( A \ge 0 \) allora il modulo vale \( |A|=A \). Dunque: \[ |A| > B \Rightarrow A > B \] - Caso 2: \( A < 0 \)
Se \( A \lt 0 \) allora il modulo vale \( |A|=-A \). Dunque \[ |A| > B \Rightarrow -A > B \] Moltiplico per \(-1\) entrambi i membri e cambio il verso della disequazione: \[ A < -B \]
Quindi, unendo i due risultati deduco che
\[ |A| > B \Rightarrow A < -B \ \text{oppure} \ A > B \]
Implicazione inversa (⇐)
Considero i due casi \( A > B \) e \( A < -B \)
- Caso 1: \( A>B \)
Se \( A > B \), poiché \( B > 0 \) allora \( A > 0 \). Essendo $ A>0 $, il modulo vale $ |A|=A $. Dunque: $$ A>B \Rightarrow |A|>B $$ - Caso 2: \( A < -B \)
Se \( A < -B \), poiché $ B > 0 $ allora \( A < 0 \). Essendo $ A<0 $, il modulo vale $ |A|=-A $. Sapendo che $$ A<-B $$ Moltiplico per -1 entrambi i membri e cambio il verso della disequazione $$ -A > B $$ Poiché $ |A|=-A $ $$ |A|>B $$ Dunque $$ A < -B \Rightarrow |A|>B $$
In entrambi i casi ottengo:
\[ A> B \ \text{oppure} \ A <-B \ \Rightarrow |A| > B \]
Unendo l'implicazione diretta e inversa ottengo:
\[ |A| > B \iff A < -B \ \text{oppure} \ A > B \]
Come volevasi dimostrare
E così via.
