Disequazione biquadratica

Una disequazione biquadratica è una disequazione di 4° che si presenta in questa forma $$ax^4 \pm bx^2 \pm c \gt 0$$ oppure $$ax^4 \pm bx^2 \pm c \lt 0$$ Dove il coefficiente a è diverso da zero a<>0.

Per risolvere queste disequazioni introduco una variabile incognita ausiliaria.

$$t = x^2$$

In questo modo la disequazione si trasforma in una disequazione di 2° grado ed è molto più semplice da risolvere.

$$at^2 \pm bt + c > 0$$

Dopo aver risolto la disequazione di 2° grado, sostituisco nella soluzione l'incognita t con x.

Un esempio pratico

Devo risolvere la disequazione di 4° grado

$$2x^4-7x^2-4 < 0$$

E' una disequazione biquadratica con a≠0

Per risolverla introduco l'incognita ausiliaria t.

$$t=x^2$$

Sostituisco x con t nella disequazione e ottengo una disequazione di 2° grado equivalente

$$2t^2-7t-4 < 0$$

A questo punto risolvo la disequazione di 2° grado studiando l'equazione associata.

$$2t^2-7t-4 = 0$$

Si tratta di una parabola con la concavità rivolta verso l'alto.

Il determinante è positivo Δ=(-7)²-4·2·(-4)=81, quindi l'equazione 2t²-7t-4=0 ha due radici.

$$t = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)}}{2 \cdot 2}$$

$$t = \frac{7 \pm \sqrt{49 +32}}{4}$$

$$t = \frac{7 \pm \sqrt{81}}{4}$$

$$t = \frac{7 \pm 9}{4} = \begin{cases} t_1 = \frac{7-9}{4} = -\frac{1}{2} \\ \\ t_2 = \frac{7+9}{4} = 4 \end{cases}$$

Le radici dell'equazione associata sono t₁=-1/2 e t₂=4. Dove per convenzione t₁<t₂

Sapendo che la parabola è rivolta verso l'alto, assume valori positivi all'esterno dell'intervallo (t₁,t₂)=(-1/2,4)

Quindi, la disequazione 2t²-7t-4<0 è soddisfatta nell'intervallo interno t∈(-1/2,4)

$$- \frac{1}{2} < t < 4$$

Una volta trovata la soluzione della disequazione di 2° grado, sostituisco la variabile ausiliaria t con x, sapendo che t=x²

$$- \frac{1}{2} < x^2 < 4$$

Nota. Dopo la sostituzione dell'incognita x è subito evidente che l'estremo inferiore è impossibile perché nessun numero reale al quadrato x² ha come risultato un valore reale negativo (-1/2). Poiché sto cercando soluzioni reali, potrei già da adesso non considerare la prima relazione di minoranza e concentrarmi sulla seconda relazione x²<4.

Calcolo la radice quadrata di ogni membro per ricavare l'incognita x

$$\sqrt{- \frac{1}{2}} < \sqrt{x^2} < \sqrt{4}$$

Non considero la prima radice perché ha il radicando negativo, quindi non ha soluzioni nell'insieme dei numeri reali.

Pertanto, l'incognita x deve avere valori compresi nell'intervallo x∈(-2,2)

$$x < \pm 2$$

ossia

$$-2 < x < 2$$

Quest'ultima è la soluzione della disequazione biquadratica iniziale 2x⁴-7x²-4 < 0

E così via.