Disequazione binomia
Le disequazioni binomie sono disequazioni che si presentano in questa forma $$ ax^n + b >0 $$ oppure $$ ax^n + b < 0 $$ dove il coefficiente a è un numero intero positivo a>0.
Queste disequazioni si risolvono facilmente.
Basta esplicitare la variabile incognita rispetto al resto.
Un esempio pratico
Ho la disequazione
$$ x^3 - 8 > 0 $$
Applico la proprietà invariantiva sommando a entrambi i membri +8
$$ x^3 - 8 + 8 > 0 + 8 $$
In questo modo esplicito l'incognita x
$$ x^3 > 8 $$
Poi calcolo la radice cubica a entrambi i membri.
$$ \sqrt[3]{x^3} > \sqrt[3]{8} $$
$$ \sqrt[3]{x^3} > \sqrt[3]{2^3} $$
La radice cubica di 8 è uguale 2
$$ x > 2 $$
Pertanto, la disequazione è soddisfatta nell'intervallo aperto di numeri reali (2,+∞)
Nota. La radice di 8 ha un indice dispari (3) quindi ha un'unica soluzione pari a 2 $$ 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $$ poiché (-2)3 è un valore diverso $$ (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 $$
Esempio 2
Devo risolvere la disequazione
$$ x^4-81 < 0 $$
Esplicito la variabile incognita y
$$ x^4-81 + 81 < 0 +81 $$
$$ x^4 < 81 $$
Applico la radice quarta a entrambi i membri
$$ \sqrt[4]{ x^4 } < \sqrt[4]{81} $$
$$ x < \sqrt[4]{81} $$
Sapendo che 81=34
$$ x < \sqrt[4]{3^4} $$
In questo caso la radice ha esponente pari, quindi ha due soluzioni +3 e -3
$$ \begin{cases} x < + 3 \\ \\ x > - 3 \end{cases} $$
Pertanto la disequazione irrazionale è soddisfatta nell’intervallo aperto di numeri reali (-3,3).
$$ -3 < x < 3 $$
Nota. La radice quarta di 81 ha un indice pari (4) quindi ha due soluzioni 3 e -3 $$ 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 $$ $$ (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 81 $$
E così via
