Le regole del cambiamento del segno e del verso nelle disequazioni

Nel calcolo algebrico delle disequazione occorre tenere presenti due regole fondamentali.

Regola del cambio del segno
Regola del cambio del verso

Regola del cambio del segno

Per spostare un termine da un membro all’altro della disequazione occorre cambiargli segno.

Esempio

Considero la disequazione

$$ x+1 > 3 $$

Per spostare +1 dal membro di sinistra al membro di destra applico il primo principio di equivalenza.

Sottraggo -1 a entrambi i membri della disequazione.

$$ x+1 -1 > 3 -1 $$

$$ x > 3 -1 $$

In questo modo il termine 1 viene spostato nel membro di destra con segno cambiato.

Il verso della diseguaglianza non cambia.

Nota. Per spostare un termine negativo basta sommare lo stesso termine in entrambi i membri della disequazione. Ad esempio per spostare -1 da sinistra a destra $$ x-1>3 $$ sommo +1 in entrambi i membri $$ x-1+1>3+1 $$ $$ x>3+1 $$ Il numero -1 viene spostato a destra con il segno cambiato.

Regola del cambio del verso

se il numero è positivo si mantiene lo stesso verso della diseguaglianza
se il numero è negativo si inverte il verso della diseguaglianza

Esempio 1

Ho la disequazione

$$ \frac{x+1}{2} > 3 $$

Moltiplico entrambi i membri della disequazione per 2

$$ \frac{x+1}{2} \cdot 2 > 3 \cdot 2 $$

Essendo un numero positivo, il verso della disequazione non cambia (>)

$$ x+1 > 6 $$

Esempio 2

Ho la disequazione

$$ \frac{x+1}{2} > 3 $$

Moltiplico entrambi i membri della disequazione per -2

Poiché -2 è un numero negativo devo anche invertire il verso della disequazione

$$ \frac{x+1}{2} \cdot (-2) < 3 \cdot (-2) $$

$$ -x-1 < -6 $$

Nota. La divisione segue le stesse regole della moltiplicazione. Il verso della disequazione si inverte soltanto se il divisore è un valore negativo.Ad esempio, ho la disequazione $$ 2x > 4 $$ e la divido per -2 $$ \frac{2x}{-2} < \frac{ 4}{-2} $$ $$ -x < \frac{ 4}{-2} $$ $$ -x < -2 $$ Essendo un numero negativo, il verso della disequaglianza si inverte.

E così via.