I principi di equivalenza delle disequazioni
Le disequazioni equivalenti si reggono su due principi detti principi di equivalenza delle disequazioni.
Primo principio di equivalenza
Se sommo o sottraggo uno stesso termine (o espressione) in entrambi i membri della disequazione ottengo una disequazione equivalente.
Questo vuol dire che per spostare un termine della disequazione da un membro all'altro, basta cambiare il segno del termine.
Esempio
Considero la disequazione
$$ x+1>0 $$
Sommo +1 a entrambi i membri
$$ x+1+1>0+1 $$
Il risultato è una disequazione equivalente
$$ x+2>1 $$
Nota. Da questo deduco la regola algebrica che mi permette di spostare un termine della disequazione da un membro all'altro cambiando il suo segno e mantenendo la stessa relazione di diseguaglianza. Ad esempio $$ x +1 \gt 0 $$ $$ x +1 +(-1) \gt 0 +(-1) $$ $$ x \gt -1 $$
Secondo principio di equivalenza
- Se moltiplico o divido per uno stesso termine (o espressione) entrambi i membri della disequazione devo distinguere due casi
- se il termine è positivo ottengo una disequazione equivalente con lo stesso verso della diseguaglianza
- se il termine è negativo ottengo una disequazione equivalente con il verso opposto della diseguaglianza.
Questo vuol dire che se cambio il segno di tutti i termini della disequazione, moltiplicando entrambi i membri per un numero negativo (es. -1), devo anche cambiare il verso della diseguaglianza.
Esempio
Considero la disequazione
$$ x+1>3 $$
Moltiplico per due entrambi i membri della disequazione
$$ (x+1) \cdot 2 >3 \cdot 2 $$
$$ (2x+2) > 6 $$
Il risultato è una disequazione equivalente con lo stesso verso della diseguaglianza (>).
Esempio 2
Considero la disequazione
$$ x+1>3 $$
Moltiplico per meno due entrambi i membri della disequazione
$$ (x+1) \cdot (-2) >3 \cdot (-2) $$
$$ (-2x-2) < -6 $$
Il risultato è una disequazione equivalente con il verso opposto della diseguaglianza (<).
Nota. La disequazione $$ x+1 >3 $$ si risolve con valori maggiori di 2 $$ x > 3-1 $$ $$ x > 2 $$ Ora moltiplico per -1 entrambi i membri della disequazione cambiando segno a tutti i termini $$ (x+1) \cdot (-1) >3 \cdot (-1) $$ Se mantenessi la stessa relazione d'ordine otterrei una disequazione che si risolve con valori minori di 2 $$ -x-1 > -3 $$ $$ x < 2 $$ Quest'ultima è una disequazione non equivalente alla disequazione iniziale perché ha un insieme di soluzioni diverso. Per ottenere una disequazione equivalente dopo la moltiplicazione per -1 devo anche cambiare la relazione d'ordine $$ -x-1 < -3 $$ Quest'ultima disequazione si risolve con valori maggiori di 2 $$ x > 2 $$ L'insieme delle soluzioni coincide con quello della disequazione iniziale.
