Le proprietà delle disuguaglianze numeriche
Le disuguaglianze numeriche soddisfano alcune proprietà.
Sono particolarmente utili perché consentono di semplificare la disuguaglianza e, quindi, agevolano la risoluzione dei problemi.
Proprietà additiva
Se addiziono o sottraggo uno stesso numero in entrambi i membri della disuguaglianza, ottengo un'altra disuguaglianza nello stesso verso.
$$ a < b \Leftrightarrow a + c < b + c $$
Esempio. Considero la disuguaglianza numerica $$ 4 > 2 $$ Addiziono +3 in entrambi i membri della disuguaglianza $$ 4 + 3 > 2 + 3 $$ $$ 7 > 5 $$ Il risultato è un'altra disuguaglianza nello stesso verso.
Esempio 2. Considero la stessa disuguaglianza precedente. $$ 4 > 2 $$ In questo caso sottraggo -5 in entrambi i membri. $$ 4 > 2 $$ $$ 4 - 5 > 2 - 5 $$ $$ - 1 > -3 $$ Anche in questo caso ottengo un'altra diseguaglianza nello stesso verso.
Proprietà moltiplicativa
Se moltiplico o divido entrambi i membri della disuguaglianza per uno stesso numero diverso da zero, ottengo un'altra disuguaglianza
- nello stesso verso se il numero è positivo (c>0)$$ a < b \Longleftrightarrow a \cdot c < b \cdot c $$
- nel verso contrario se il numero è negativo (c<0) $$ a < b \Longleftrightarrow a \cdot c > b \cdot c $$
Esempio. Considero la disuguaglianza numerica $$ 4 > 2 $$ Moltiplico per 3 entrambi i membri della disuguaglianza $$ 4 \cdot 3 > 2 \cdot 3 $$ $$ 12 > 6 $$ Il risultato è un'altra disuguaglianza nello stesso verso.
Esempio 2. Considero la disuguaglianza. $$ 16 > 8 $$ In questo caso divido per -2 entrambi i membri. $$ \frac{16}{-2} > \frac{8}{-2} $$ $$ -8 > -4 $$ Tuttavia, quest'ultima disuguaglianza è falsa (-8 non è maggiore di -4). Essendo -2 un numero negativo, devo anche invertire il verso della disuguaglianza. $$ -8 < -4 $$ Così facendo ottengo un'altra disuguaglianza vera (-8 è minore di -4) ma nel verso opposto rispetto a quella iniziale.
Proprietà dei reciproci dei numeri concordi
Dati due numeri concordi (con stesso segno) e diversi da zero, la diseguaglianza tra i loro reciproci ha verso contrario rispetto alla diseguaglianza tra i due numeri. $$ a > b \ \Longleftrightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b} $$ La stessa proprietà non vale per i numeri discordi.
Esempio. Considero la diseguaglianza numerica $$ 4 > 2 $$ Sono due numeri concordi diversi da zero, quindi la diseguaglianza tra i loro reciproci ha verso contrario $$ \frac{1}{4} < \frac{1}{2} $$
Addizione di disuguaglianze con lo stesso verso
Se sommo membro a membro due disuguaglianze con lo stesso verso, ottengo un'altra disuguaglianza con lo stesso verso. $$ a > b \ , \ c > d \ \Longleftrightarrow a+c > b +d $$ La stessa proprietà non vale per i numeri discordi.
Esempio. Considere le disuguaglianze numeriche $$ 4 > 2 $$ $$ 5 > 3 $$ Le due diseguaglianze hanno lo stesso verso. Sommo membro a membro le disuguaglianze $$ 4+5 > 2+3 $$ Il risultato è un'altra disuguaglianza con lo stesso verso $$ 9 > 5 $$
Prodotto di disuguaglianze con lo stesso verso tra numeri positivi
Se moltiplico membro a membro due disuguaglianze con lo stesso verso tra due numeri positivi, ottengo un'altra disuguaglianza nello stesso verso. $$ a > b \ , \ c > d \ \Longleftrightarrow a \cdot c > b \cdot d $$ La stessa proprietà non vale per i numeri negativi.
Esempio. Considere le disuguaglianze numeriche $$ 4 > 2 $$ $$ 5 > 3 $$ Le due diseguaglianze hanno lo stesso verso e i termini sono numeri positivi. Moltiplico membro a membro le disuguaglianze $$ 4 \cdot 5 > 2 \cdot 3 $$ Il risultato è un'altra disuguaglianza con lo stesso verso $$ 20 > 6 $$
E così via.
