Le disequazioni intere
Una disequazione è detta disequazione intera quando le variabili incognite si trovano soltanto al numeratore.
Ad esempio, questa è una disequazione numerica intera
$$ 2x + 1 > x - 4 $$
In una disequazione intera possono esserci anche delle frazioni, purché la variabile incognita non compaia al denominatore.
$$ 2x + \frac{1}{2} > \frac{x-1}{4} $$
Come si risolve una disequazione intera
Considero questa disequazione numerica intera
$$ \frac{7x-1}{2} > - \frac{2x+1}{4} $$
Nota. E' una disequazione numerica perché i coefficienti dell'incognita sono numeri. Inoltre, è una disequazione intera perché l'incognita compare soltanto al numeratore dei termini.
Per risolvere la disequazione, cerco di eliminare i denominatori portandoli entrambi al loro minimo comune multiplo.
$$ \frac{7x-1}{2} > - \frac{2x+1}{4} $$
In questo caso, il minimo comune multiplo di 2 e 4 è 4.
Quindi, applico le proprietà delle frazioni. Moltiplico e divido il primo termine per 2.
$$ \frac{7x-1}{2} \cdot \frac{2}{2} > - \frac{2x+1}{4} $$
$$ \frac{2 \cdot (7x-1)}{2 \cdot 2} > - \frac{2x+1}{4} $$
$$ \frac{14x-2}{4} > - \frac{2x+1}{4} $$
Ora entrambi i membri hanno lo stesso denominatore.
Applico i principi di equivalenza delle disequazioni. Moltiplico entrambi i membri della disequazione per 4 e semplifico.
$$ \frac{14x-2}{4} \cdot 4 > - \frac{2x+1}{4} \cdot 4 $$
$$ 14x-2 > - (2x+1) $$
$$ 14x-2 > - 2x-1 $$
In questo modo ho eliminato i denominatori delle espressioni.
A questo punto sposto le incognite nel membro di sinistra e i valori numerici nel membro di destra.
Sommo 2x a entrambi i membri e semplifico.
$$ 14x-2 +2x > - 2x +2x -1 $$
$$ 16x-2 > -1 $$
Sommo +2 a entrambi i membri e semplifico.
$$ 16x-2+2 > -1+2 $$
$$ 16x > 1 $$
Divido entrambi i membri per 16
$$ 16x \cdot \frac{1}{16} > 1 \cdot \frac{1}{16} $$
In questo modo ricavo la variabile incognita da tutto il resto.
$$ x > \frac{1}{16} $$
Quest'ultima è la soluzione della disequazione intera.
In conclusione, la disequazione si risolve per ogni valore x>1/16.
E così via.
