Disuguaglianze numeriche

In matematica una diseguaglianza numerica è una relazione tra due numeri o espressioni che esprime la loro differenza in termini di maggiore o minore. E' anche detta disuguaglianza.

In generale, una diseguaglianza confronta i due elementi di un insieme ordinato e stabilisce quali dei due è più grande o più piccolo.

Ecco un esempio di diseguaglianza

$$ 4 < 6 $$

Quest'ultima diseguaglianza stabilisce che l'espressione a sinistra del simbolo di disuguaglianza (primo membro) è inferiore rispetto all'espressione a destra del simbolo di uguaglianza (secondo membro).

Pertanto, si legge "4 è minore di 6".

Nota. In matematica le disuguaglianze numeriche sono molto utili nella risoluzione di problemi matematici dove è necessario confrontare i dati numerici.

I predicati e i relativi simboli matematici usati per esprimere una diseguaglianza sono i seguenti:

">" per indicare "maggiore di"
"<" per indicare "minore di"
"≥" per indicare "maggiore o uguale a"
"≤" per indicare "minore o uguale a"

I primi due simboli (maggiore e minore) denotano una disuguaglianza forte o stretta.

Gli altri due simboli (maggiore-uguale e minore-uguale) denotano, invece, una disuguaglianza debole o larga.

Nota. Quando due diseguaglianze hanno lo stesso simbolo, si dice che hanno "lo stesso verso" o "lo stesso senso". Ad esempio. $$ 4 < 9 $$ $$ 5 < 7 $$ Viceversa, se hanno un simbolo opposto si dice che hanno "verso contrario" o "senso contrario". Ad esempio. $$ 4 < 9 $$ $$ 6 > 3 $$

Qualunque diseguaglianza può essere scritta utilizzando il segno maggiore o minore.

Ad esempio, la diseguaglianza numerica con il simbolo maggiore "otto è maggiore di quattro"

$$ 8 > 4 $$

posso scriverla in modo equivalente usando il simbolo minore, scambiando le espressioni al primo e al secondo membro.

$$ 4 < 8 $$

In questo caso si legge "quattro è minore di otto".

In altre parole, entrambi i predicati la stessa relazione di diseguaglianza.

Le disequazioni

Se nelle espressioni di una diseguaglianza numerica è presente una o più variabili incognite, la diseguaglianza è detta disequazione.

Ad esempio, questa diseguaglianza è composta da un'espressione letterale con una incognita al primo membro

$$ 4x + 1 < 9 $$

Pertanto, la diseguaglianza è detta disequazione.

Risolvere una disequazione vuol dire cercare i valori delle lettere incognite che rendono vera la diseguaglianza.

Esempio. L'insieme delle soluzioni della precedente disequazione è composta da tutti i valori della variabile incognita x<2 minori di due. Per trovare la soluzione mi basta applicare le proprietà delle diseguaglianze. $$ 4x + 1 < 9 $$ $$ 4x + 1 -1 < 9 - 1 $$ $$ 4x < 8 $$ $$ \frac{4x}{4} < \frac{8}{4} $$ $$ x < 2$$

E così via.