Disequazione di terzo grado o superiore
Per risolvere le disequazioni di ordine superiore al secondo devo scomporle in fattori di primo e secondo grado e studiare il segno del prodotto.
Per scomporre un polinomio è molto utile la regola di Ruffini, ricordarsi i prodotti notevoli e/o introdurre una variabile ausiliaria.
Esistono comunque diverse tecniche di scomposizione alternative. La strada migliore varia a seconda della situazione.
Un esempio pratico
Devo studiare la disequazione
$$ 2x^3 - 3x^2 +3x > 2 $$
Scrivo la disequazione in forma normale
$$ 2x^3 - 3x^2 +3x -2 > 0 $$
Per risolverla applico il metodo di Ruffini.
L'equazione associata 2x3-3x2+3x-2=0 si annulla per x=1
Quindi il polinomio posso scomporlo nel prodotto di due polinomi di grado inferiore (x-1)·Q(x).
$$ \begin{array}{c|lcc|r} & 2 & -3 & 3 & -2 \\ 1 & & 2 & -1 & 2 \\ \hline & 2 & -1 & 2 & 0 \end{array} $$
Il polinomio equivalente è
$$ (x-1) \cdot ( 2x^2-x+2) > 0 $$
A questo punto studio il segno dei due polinomi (x-1) e 2x2-x+2
Poi applico la regola del segno del prodotto dei polinomi.
In conclusione, la disequazione 2x3-3x2+3x>2 è soddisfatta per ogni x>1.
E così via.
