Disequazioni logaritmiche
Le disequazioni logaritmiche sono disequazioni in cui l'incognita compare come argomento di almeno un logaritmo. $$ \log_b P(x) > \log_b Q(x) $$
Come risolvere una disequazione logaritmica
Per risolvere una disequazione logaritmica posso usare il metodo algebrico o il metodo grafico
1) Il metodo algebrico
devo scrivere e risolvere un sistema con
- le condizioni di esistenza dei logaritmi
- le disequazioni ottenute dalla diseguaglianza degli argomenti
- Attenzione. Quando si scrivono le disequazioni degli argomenti bisogna fare attenzione alla base dei logaritmi
- Se la base è maggiore di uno b>1 la disequazione degli argomenti ha lo stesso verso della disequazione dei logaritmi $$ \log_b P(x) > \log_b Q(x) \Rightarrow P(x) > Q(x) $$
- Se la base è compresa tra zero e uno 0<b<1 la disequazione degli argomenti ha il verso opposto rispetto alla disequazione dei logaritmi $$ \log_b P(x) > \log_b Q(x) \Rightarrow P(x) < Q(x) $$
2) Il metodo grafico
Disegno un diagramma cartesiano
- traccio il grafico di entrambi i membri della disequazione
- osservo in quali intervalli la disequazione è soddisfatta
Nota. Il metodo grafico è utile quando non è possibile o non è facile usare il metodo algebrico. Ad esempio, quando l'incognita compare in altri termini algebrici oltre che nell'argomento del logaritmo. In questi casi conviene risolvere il problema dal punto di vista grafico.
Un esempio pratico
Ecco un esempio di disequazione logaritmica
$$ \log_{\frac{1}{2}} x > 2 $$
La condizione di esistenza C.E. del logaritmo è x>0
Per continuare devo trasformare 2 in un logaritmo con base 1/2.
Sapendo che 2 = log1/2 1/4
$$ \log_{\frac{1}{2}} x > \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} $$
Spiegazione. Per trovare l'argomento del logaritmo di base 1/2 che restituisce 2 basta elevare la base del logaritmo per due. $$ b^2 = ( \frac{1}{2} )^2 = \frac{1}{4} $$
In entrambi i membri i logaritmi hanno la stessa base.
Applico la proprietà invariantiva delle equazione ed elevo entrambi i membri usando una potenza con base 1/2
In questo caso la base è compresa tra 0 e di 1, quindi il verso della disequazione si inverte da > a <
$$ ( \frac{1}{2} )^{ \log_{\frac{1}{2}} x } < ( \frac{1}{2} )^{ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} } $$
La potenza e il logaritmo si semplificano
In questo modo ottengo la disequazione tra gli argomenti
$$ x < \frac{1}{4} $$
A questo punto costruisco un sistema con le condizioni di esistenza e la disequazione degli argomenti
$$ \begin{cases} x>0 \\ \\ x < \frac{1}{4} \end{cases} $$
Le soluzioni del sistema sono
$$ 0 < x < \frac{1}{4}$$
Queste ultime sono anche le soluzioni della disequazione logaritmica.
Pertanto, la disequazione logaritmica è soddisfatta per ogni x compresa tra zero e un quarto.
Esempio 2 (metodo grafico)
Provo a risolvere la precedente disequazione usando il metodo grafico.
$$ \log_{\frac{1}{2}} x > 2 $$
Il membro di sinistra della disequazione è il logaritmo su base 1/2 di x
Disegno in un diagramma cartesiano la funzione y=log1/2 x
Il membro di destra della disequazione è la costante 2.
Aggiungo nel grafico una retta y=2.
Il punto di intersezione tra i due grafici è x0=1/4
Pertanto, la disequazione è soddisfatta nell'intervallo (0,1/4)
E' lo stesso risultato già ottenuto in modo algebrico.
E così via.
